{VERSION 6 0 "IBM INTEL NT" "6.0" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Comment" 2 18 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "2D Output" 2 20 "" 0 1 0 0 255 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "LaTeX" -1 32 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 256 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 257 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 258 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 259 "" 1 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 260 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 261 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 262 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 263 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 1 " -1 3 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 18 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 8 4 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 2" -1 4 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 8 2 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 1" -1 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 18 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }3 1 0 0 8 4 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 2 " -1 257 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 } 3 1 0 0 8 2 1 0 1 0 2 2 0 1 }} {SECT 0 {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "restart; " }{TEXT -1 46 "Tast \"enter\" (linieskift) for at komme videre." }}}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 259 26 "Fr i studieaktivitet: Maple" }}{PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 70 "Det ingeni \370r-, natur- og sundhedsvidenskabelige basis\345r, efter\345r 2007. " }}{PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 14 "1. kursusgang." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 " " {TEXT -1 13 "Maple vinduet" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 60 "I dette a fsnit gives en kort introduktion til Maple vinduet." }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 118 "(Denne beskrivelse g\346lder for Maple version 11 Clas sic Worksheet. I andre versioner ser det m\345ske lidt anderledes ud.) " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 78 "I den \370verste ramme i vinduet st \345r der Maple (versionnummer), f.eks. Maple 11." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 "Kursusgang-1.mws er navnet p\345 et s\345kaldt arbejdsark (maple worksheet, forkortet mws)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 49 "Man kan arbejde med flere arbejdsark samtidigt. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 63 "Under denne farvede ramme er der tre linier som kaldes bj \346lker." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 14 "Den f\370rste er " }{TEXT 261 11 "Menubj\346lken" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 12 "I midten er " }{TEXT 262 15 "V\346rkt\370jsbj\346lken" }{TEXT -1 1 ". " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 15 "Nederst findes " }{TEXT 263 15 "Konte kstbj\346lken" }{TEXT -1 1 "." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 " " }{TEXT -1 57 "Tast enter for at komme videre, n\345r du har l \346st teksten. " }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 11 "Menubj\346lk en" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 50 "Fra menubj\346lken har du adgang ti l en r\346kke menuer." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 334 "I File menuen k an du f.eks. gemme det arbejdsark, som du arbejder med. Du kan f.eks. \+ gemme en kopi af arbejdsarket Kursusgang-1.mws under et andet navn. Pr \370v det. Du kan s\345 \346ndre i arket uden at det oprindelige arbej dsark forsvinder. Du kan ogs\345 \345bne et tidligere gemt arbejdsark \+ eller du kan skabe et nyt (blankt) arbejdsark med New." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 259 "I Window menuen finder du under stregen en liste me d alle arbejdsark, der er \345bnede. Det aktuelle arbejdsark er marker et. Du kan f\345 et af de andre ark frem ved at klikke p\345 navnet. P r\370v det. (Hvis der kun er arket kursusgang1.mws s\345 skab et nyt m ed File/New)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 54 "I Help menuen kan du fin de hj\346lp om Maples funktioner." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 15 "V\346rkt \370jsbj\346lken" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 122 "I v\346rkt\370jsbj \346lken findes en r\346kke taster. De fleste er genveje til redskaber der ogs\345 findes under menuerne i menubj\346lken." }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 22 "Pr\370v f.eks. tasten [>." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 15 "Kontekstbj \346lken" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 69 "Denne bj\346lke skifter afh \346ngigt af hvor cursoren st\345r. (Deraf navnet)." }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 70 "Pr\370v f.eks. at flytte cursoren fra en kommandolinie \+ til en tekstlinie." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 57 "Vi ser senere p\345 hvorkan konteksbj\346lken \346ndres i figurer." }}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 36 "Indtastning af tal og udtry k i Maple" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 73 "Vi vil starte med nog le simple eksempler p\345 indtastning af tal og udtryk." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 48 "Nedenfor er allerede indtastet nogle kommandoer." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 82 "Tryk p\345 enter tasten mens cursoren st \345r i kommandolinien for at udf\370re kammandoen." }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 53 "(Det er uden betydning hvor p\345 linien cursoren st \345r.)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "2+3;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 71 "En kommando skal altid afsluttes med semi kolon (eller eventuelt kolon)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 47 "Ved udf \370relse af kommandoen udregnes udtrykket." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 77 "Man kan naturligvis indtaste mere komplicerede udtryk, \+ f.eks. med parenteser:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "5 3*(23+12);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 14 "Gangetegnet * " } {TEXT 257 10 "skal altid" }{TEXT -1 70 " skrives. Hvis man udelader de t, f\345r man ikke det forventede resultat." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "53(23+12);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 22 "Indtastning af br\370k er:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "5/12 + 3/10;" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 69 "Maple udregner straks det eksakte \+ resultat (s\346tter p\345 f\346lles n\346vner)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 121 "Ved indtastning af br \370ker er det desv\346rre ikke muligt at bruge en vandret br\370kstre g; i stedet bruges en skr\345 br\370kstreg /." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 98 "For andre matematiske udtryk som f. eks. potensopl\370ftn ing g\346lder ligeledes af komandolinien er en " }{TEXT 256 6 "linie. " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "3^8;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 61 "Da man ikke kan skrive et kvadratrods tegn bruges kommandoen " }{TEXT 0 4 "sqrt" }{TEXT 32 1 "." }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "sqrt(5);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 64 "En meget lang kommando kan dog godt v\346re delt over flere linier :" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 296 "989874797197979704980 9183081409832048090946065087368763804876328476087643807680764870487638 7462876087364807460876837467836476487687643876876486 * 081267868768751 6872065086086807468076807634876807686876087634768734767637367634767364 7647467367647676736767364767647680408776876768767876876786876867;" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 131 "Bem\346rk at Maple kan regne eksa kt med meget store tal. Computerens hukommelse s\346tter gr\346nsen fo r hvor store tal man kan arbejde med." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 27 " Dette g\346lder ogs\345 i br\370ker." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "(13/57)^31;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 38 "M an kan arbejde med variable i Maple. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 44 " En variable kan eventuelt tildeles en v\346rdi." }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 "y:=6;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 101 " Ved efterf\370lgende anvendelse af denne variabel i kommandoer erstatt er Maple variablen med dens v\346rdi." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "y+5;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 "z:=3 ;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "2*z;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 30 "Husk igen at bruge gangetegnet" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 3 "2z;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 53 "Bem\346rk at fejlmeddelser skrives med en s\346rlig farv e." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 79 "Der er ogs\345 mulighed for at arbejde med variable, der ikke er tildelt en v\346rdi." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "3*x^2-5*x+2;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 130 "Hvis igen \370nsker at arbejde med y som en variabe l uden v\346rdi kan man f\345 Maple til \"glemme\" den tidligere v\346 rdi af y med kommandoen" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "y :='y';" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "y+5;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 20 "z bevarer sin v\346rdi:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "2*z;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 121 "Hvis man \370nsker at Maple skal glemme alle tidligere udregninge r og tildelinger af v\346rdier til variable bruges kommandoen " } {TEXT 0 8 "restart." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "resta rt;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 2 "z;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 27 "Man kan ogs\345 f\345 kommandoen " }{TEXT 0 7 " restart" }{TEXT -1 62 " udf\370rt ved at klikke p\345 yderste h\370jre tast i v\346rkt\370jsbj\346lken." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 77 "Maple kender et stort antal funktioner, f.eks. de trigonometriske \+ funktioner:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "sin(x);" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 4 "Man " }{TEXT 258 10 "skal altid" } {TEXT -1 70 " skrive parenteserne. Den s\346dvanlige skrivem\345de for sinus virker ikke:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 6 "sin x ;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 45 "Maple kender ikke den specie lle skrivem\345de " }{XPPEDIT 18 0 "sin^2*x;" "6#*&%$sinG\"\"#%\"xG \"\"\"" }{TEXT -1 2 " ." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "s in^2(x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 16 "I stedet skrives" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "sin(x)^2;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 11 "Konstanten " }{XPPEDIT 18 0 "Pi;" "6#%#PiG" } {TEXT -1 16 " skrives som Pi." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 3 "Pi;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "sin(Pi);" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 53 "Det er vigtigt at man skriver Pi o g ikke pi eller PI." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "sin(p i);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 65 "pi er her navnet p\345 en \+ variabel, der ikke er tildelt nogen v\346rdi." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 94 "Efter udregning af et resultat er man tit interesseret i at arbejde videre med dette resultat." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 57 "Man kan g\370re dette ved at give resultatet et navn, f.eks." }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "resultat:= sqrt(1/2+2/3);" } }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 48 "Variablen resultat vil s\345 fre mover have v\346rdien " }{XPPMATH 20 "6#,$*&\"\"'!\"\"\"#U#\"\"\"\"\"# F)" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 45 "En anden mulighed er at ben ytte ditto tegnet " }{TEXT 0 1 "%" }{TEXT -1 61 ", der henviser til re sultatet af den senest udf\370rte kommando." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 103 "Bem\346rk at det er muligt at udf\370re kommandoerne i en ande n r\346kkef\370lge end den de st\345r i p\345 arbejdsarket." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 87 "% henviser da ikke n\370dvendigvis til resultat et af den umiddelbart ovenst\345ende kommando." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 79 "Det er endda muligt at den senest udf\370rte kommando st \345r p\345 et andet arbejdsark." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 2 "%;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 0 2 "%%" }{TEXT -1 4 " og " }{TEXT 0 3 "%%%" }{TEXT -1 77 " henviser til resultatet af henholdsvis n\346stsidste og tredjesidste udregning." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "%%%;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" } {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 11 "Opgaver 1-7" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 "Skriv f\370lgende udtryk ind i Maple." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 196 "Du kan f.eks. skrive besvarelserne ind e fter hver opgave (benyt tasten [> i v\346rkt\370jsbj\346lken) eller du kan skrive besvarelsen p\345 et andet arbejdsark (benyt yderste venst re tast i v\346rkt\370jsbj\346lken)." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 6 "1) " }{XPPEDIT 18 0 "(65/43)^21;" "6#*$*&\"#l\"\"\"\"#V!\"\"\"#@" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "2) " }{XPPEDIT 18 0 "sqr t(2/3);" "6#-%%sqrtG6#*&\"\"#\"\"\"\"\"$!\"\"" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "3) " }{XPPEDIT 18 0 "1/( x+3);" "6#*&\"\"\"F$,&%\"xGF$\"\"$F$!\"\"" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "4) " }{XPPEDIT 18 0 "1/x+5*x/3;" "6#,&*&\"\"\"F%%\"xG!\"\"F%*(\"\"&F%F&F%\"\"$F'F%" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "5) " }{XPPEDIT 18 0 "(2* x-3)/(x^4+2*x^3-2*x-1);" "6#*&,&*&\"\"#\"\"\"%\"xGF'F'\"\"$!\"\"F',**$ F(\"\"%F'*&F&F'*$F(F)F'F'*&F&F'F(F'F*F'F*F*" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "6) " }{XPPEDIT 18 0 "3^(x+5); " "6#)\"\"$,&%\"xG\"\"\"\"\"&F'" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "7) " }{XPPEDIT 18 0 "cos(x+Pi/3);" "6#-% $cosG6#,&%\"xG\"\"\"*&%#PiGF(\"\"$!\"\"F(" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 27 "Unders\370gelser af polynomier" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 51 "Vi har set p\345 hvordan man indtaster udtryk i Maple. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 65 "Vi vil nu se p\345 nogle kommandoer d er behandler indtastede udtryk." }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 39 "Vi unders\370ger et andengrads polynomium." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "p:= 2*x^2+x-6;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 71 "Vi vil f\370rst finde r\370dderne. Alts\345 l\370se (engelsk: s olve) ligningen p=0." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "sol ve(p=0);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 10 "Vi ser at " } {XPPEDIT 18 0 "2/3;" "6#*&\"\"#\"\"\"\"\"$!\"\"" }{TEXT -1 5 " og " } {XPPEDIT 18 0 "-2;" "6#,$\"\"#!\"\"" }{TEXT -1 11 " er r\370dder." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 51 "Vi kan kontrollere ved at inds\346tte f.e ks. x=-2 i p." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "eval(p,x=- 2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 73 "Vi kan skrive (faktoriser e) p som produkt af to f\370rstegrads polynomier. " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "factor(p);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 49 "Vi kan gange parenteserne ud igen med kommandoen " } {TEXT 0 6 "expand" }{TEXT -1 1 " " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "expand(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 42 "Vi kan ogs\345 tegne grafen for polynomiet p." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 60 "Vi tegner grafen for p hvor x er i intervallet fra -3 til 2." } }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 105 "(Man kan fors\370ge med forskellige int ervaller indtil man finder et, der giver et godt billede af grafen.) \+ " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "plot(p,x=-3..2);" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 91 "Bem\346rk at den vandrette akse er m\346rket med et x (fordi vi har givet den variable navnet x)." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 39 "Den lodrette akse har ikke noget m\346rke ." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 71 "Pr\370v at klikke p\345 figuren og b em\346rk at kontekstbj\346lken \346ndrer udseende." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 66 "Unders\370g hvad hver af tasterne p\345 kontekstbj\346lke n g\370r ved figuren." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 60 "Andre muligheder for at \346ndre figuren: h\370jre-klik p\345 grafen." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 98 "Der findes ogs\345 man ge muligheder for tilf\370je options til kommandoen. Se eventuelt hj \346lpesiden for " }{TEXT 0 13 "plot[options]" }{TEXT -1 1 " " }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 66 "plot(p, x=-3..2, scaling=con strained, labels=[x,y], colour=green);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 0 19 "scaling=constrained" }{TEXT -1 60 " betyder at koordinatsy stemet f\345r samme enheder p\345 akserne. " }{TEXT 0 12 "labels=[x,y] " }{TEXT -1 21 " giver akserne navne." }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 12 "Opgaver 8-10" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 117 "Unders\370g f\370lgende udtryk ved hj\346lp kommadoerne fra forrige section (omskriv, find r\370dde r, faktoriser, tegn grafer). " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "8) " } {XPPEDIT 18 0 "x^2-5*x+6;" "6#,(*$%\"xG\"\"#\"\"\"*&\"\"&F'F%F'!\"\"\" \"'F'" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "9 ) " }{XPPEDIT 18 0 "6*x^2+x-15;" "6#,(*&\"\"'\"\"\"*$%\"xG\"\"#F&F&F (F&\"#:!\"\"" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 6 "10) " }{XPPEDIT 18 0 "(x-1)*(x+1)*(x+3)+(x+1)*(x^2+x+2);" "6#, &*(,&%\"xG\"\"\"F'!\"\"F',&F&F'F'F'F',&F&F'\"\"$F'F'F'*&,&F&F'F'F'F',( *$F&\"\"#F'F&F'F0F'F'F'" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 24 "Simplifikation af udtryk" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 54 "Man har tit brug for at kunne simplificer e et udtryk. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 7 "F.eks. " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "4^(1/2)+3;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 10 "Bem\346rk at " }{XPPEDIT 18 0 "sqrt(4);" "6#-%%sqrtG6#\" \"%" }{TEXT -1 19 " er indtastet som " }{XPPEDIT 18 0 "4^(1/2);" "6#) \"\"%*&\"\"\"F&\"\"#!\"\"" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 60 "Vi vil gerne have udtrykket forenklet. Vi bruger kommandoen " } {TEXT 0 8 "simplify" }{TEXT -1 1 "." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "simplify(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 18 " Et andet eksempel:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "cos(x )^5+sin(x)^4+2*cos(x)^2-2*sin(x)^2-cos(2*x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "simplify(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 18 "Et tredje eksempel" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "(x^2+x-2)/(x-1)+(x^2-x-2)/(x+1);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "simplif y(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 77 "I alle tre tilf\346lde v ar det let at finde en mere simpelt udtryk ved hj\346lp af " }{TEXT 0 8 "simplify" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 39 "Men desv \346rre er det ikke altid s\345 let." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "(x-1)*(x^2+x+1)*(x^6+x^3+1);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "simplify(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 50 "Dette komplicerede udtryk blev ikke forenklet med " }{TEXT 0 8 "simplify" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 56 "Vi kan s\345 pr\370ve at gange parenteserne ud. Det g\370res med " }{TEXT 0 6 "exp and" }{TEXT -1 1 "." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "expa nd(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 58 "I dette tilf\346lde kun ne expand finde et mere enkelt udtryk." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 20 "Rationale funkt ioner" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 76 "En rational funktion er en br \370k hvor b\345de t\346ller og n\346vner er et polynomium." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "r:=(x^2+x-3)/(x^2-x-2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 112 "Vi vil gerne unders\370ge om n\346vneren kan v\346re 0. N\346vner hedder denominator p\345 engelsk og bestemme s med kommandoen " }{TEXT 0 5 "denom" }{TEXT -1 1 "." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "denom(r);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "solve(%=0);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 46 "V i ser at r ikke er defineret for x=2 og x=-1." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 79 "Vi pr\370ver alligevel at tegne grafen for r i et interva l der indeholder -1 og 2." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "plot(r,x=-3..4);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 29 "Det ser r et uoverskueligt ud." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 48 "Vi begr\346nser y -v\346rdierne til et mindre interval." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "plot(r,x=-3..4,y=-10..10);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 385 "Pr\370v at klikke p\345 figuren og derefter p\345 ande n tast fra venstre i kontekstbj\346lken. Derved ses de st\370ttepunkte r som Maple bruger til tegning af grafen. Klik igen p\345 f\370rste ta st fra venstre for at f\345 en fuldt optrukket kurve. (En anden muligh ed er at h\370jreklikke p\345 figuren og derefter v\346lge line eller \+ point under style. Den tredje mulighed for at se st\370ttepunkter er u df\370re kommandoen " }{TEXT 0 37 "plot(r,x=-3..4,y=-10..10,style=poin t)" }{TEXT -1 3 " .)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 157 "Vi ser at de to \+ lodrette linier med ligning x=-1 og x=2 ikke er del af grafer for r. M en Maple tror at funktionen er kontinuert og forbinder st\370ttepunkte rne." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 104 "Dette problem l\370ses ved at fo rt\346lle Maple at funktionen ikke er kontinuert (dvs. den er diskonti nuert). " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "plot(r,x=-3..4, y=-10..10,discont=true);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 100 "Graf en for r sk\346rer x-aksen to steder p\345 figuren (og m\345ske flere \+ steder udenfor intervallet [-3,4])." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 57 "Vi l\370ser ligningen r=0 for at bestemme sk\346ringspunkterne." }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "solve(r=0);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 84 "Det er klart at nulpunkterne for r er pr \346cis de samme som nulpunkterne for t\346lleren." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 43 "Vi bestemmer t\346lleren (engelsk: numerator):" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "numer(r);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "solve(%);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 18 "Et andet eksempel:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "s:=(x^3+2*x^2+3*x+2)/(x^3-3*x-2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 57 "Vi finder t\346ller og n\346vne r i s og faktoriserer dem begge." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "numer(s);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "factor(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "denom(s); " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "factor(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 10 "Vi ser at " }{XPPEDIT 18 0 "x+1;" "6#,&% \"xG\"\"\"F%F%" }{TEXT -1 38 " er en faktor i b\345de t\346ller og n \346vner." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 60 "Det betyder at br\370ken kan forkortes. Vi pr\370ver med simplify." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "simplify(s);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 13 "Opgaver 11-15" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 87 "Unders\370g f\370l gende rationale funktioner ved hj\346lp af kommandoerne fra de forrige afsnit." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 139 "Dvs.: simplificer udtrykkene , unders\370g hvorn\345r n\346vneren er 0, faktoriser t\346ller og n \346vner, tegn grafen, og unders\370g hvorn\345r udtrykket er 0." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 6 "11) " }{XPPEDIT 18 0 "(2*x-3)/(x^2-9);" "6#*&,&*&\"\"#\"\"\"%\"xGF'F'\"\"$!\"\"F',&*$F(F&F'\"\"*F*F*" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 6 "12) " } {XPPEDIT 18 0 "(2*x^2+5*x+3)/(x^2-1);" "6#*&,(*&\"\"#\"\"\"*$%\"xGF&F' F'*&\"\"&F'F)F'F'\"\"$F'F',&*$F)F&F'F'!\"\"F/" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 6 "13) " }{XPPEDIT 18 0 "(x^2-2*x-8)/(x^2-x);" "6#*&,(*$%\"xG\"\" #\"\"\"*&F'F(F&F(!\"\"\"\")F*F(,&*$F&F'F(F&F*F*" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 6 "14) " }{XPPEDIT 18 0 "4* x-15-3/(2*x-1)+48/(x+3);" "6#,**&\"\"%\"\"\"%\"xGF&F&\"#:!\"\"*&\"\"$F &,&*&\"\"#F&F'F&F&F&F)F)F)*&\"#[F&,&F'F&F+F&F)F&" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 7 "15) " }{XPPEDIT 18 0 "( 2*x^3-7*x^2+8*x-2)/(2*x^2+3*x+5);" "6#*&,**&\"\"#\"\"\"*$%\"xG\"\"$F'F '*&\"\"(F'*$F)F&F'!\"\"*&\"\")F'F)F'F'F&F.F',(*&F&F'*$F)F&F'F'*&F*F'F) F'F'\"\"&F'F." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 22 "Trigono metrisk ligning" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart;" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 81 "Vi vil nu se p\345 f\370lgende trigono metriske ligning, som vi giver navnet \"ligning1\"." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "ligning1:=sin(x)=0;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "solve(ligning1);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 48 "Ved inds\346ttelse kan vi eftervise at 0 er en rod." }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "eval(ligning1,x=%);" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 59 "Ja, det er en l\370sning, men har \+ vi nu fundet alle l\370sninger?" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 33 "Vi teg ner grafen for funktionen " }{XPPEDIT 18 0 "y = sin(x);" "6#/%\"yG-%$ sinG6#%\"xG" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "plot(sin(x), x=-10..10);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 68 "L\370sningerne ti l ligning1 er de x-v\346rdier hvor grafen sk\346rer x-aksen." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 72 "Vi kan se at der er (uendeligt) mange l\370snin ger. Men Maple fandt kun en." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 70 "F\370lgen de kommando fort\346ller Maple at vi gerne vil have alle l\370sninger. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 0 16 "_EnvAllSolutions" }{TEXT -1 85 " er en variabel som systemet (Maple) har defineret. Det ses af at navnet sta rter med " }{TEXT 0 1 "_" }{TEXT -1 2 " ." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 23 "_EnvAllSolutions:=true;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 16 "solve(ligning1);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 97 "I l\370sningen indg\345r en variabel hvis navn starter med _ , \+ dvs en variabel der er indf\370rt af Maple." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 113 "Tilden ~ betyder at variablen har specielle v\346rdier. I dett e tilf\346lde skal variablen v\346re et helt tal (integer), " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 30 "som det ses af f\370lgende svar. " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "about(_Z1);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 46 "Lad os pr\370ve med en lidt vanskeligere ligning." } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "ligning2:=sin(x)=1/2;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "solve(ligning2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 91 "Venstre-siden (engelsk: left hand side) af ligningen li gning2 kan bestemmes med kommandoen " }{TEXT 0 3 "lhs" }{TEXT -1 1 ". " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 65 "H\370jreside-siden (engelsk: right ha nd side) findes med kommandoen " }{TEXT 0 3 "rhs" }{TEXT -1 1 "." }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "lhs(ligning2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "rhs(ligning2);" }}}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 64 "Vi tegner graferne for de to funktioner i samme ko ordinatsystem." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 26 "Den ene funktion er alt s\345 " }{XPPEDIT 18 0 "y = sin(x);" "6#/%\"yG-%$sinG6#%\"xG" }{TEXT -1 40 " og den anden er den konstante funktion " }{XPPEDIT 18 0 "y = 1 /2;" "6#/%\"yG*&\"\"\"F&\"\"#!\"\"" }{TEXT -1 1 "." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "plot([sin(x),1/2],x=-10..10);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 38 "Vi ser igen at der er mange l\370sninger. " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "_EnvAllSolutions:=true; " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "loesning:=solve(ligning 2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 70 "_Z1 er, som i forrige ekse mpel, en variabel hvis v\346rdi er et helt tal." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 42 "_B1 er en variabel som er enten 0 eller 1." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "about(_B1);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 46 "Normalt ville vi dele l\370sningsm\346ngden op i to. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 58 "Dette g\370res ved at inds\346tte f \370rst _B1=0 og derefter _B1=1." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "loesning1:=eval(loesning,_B1=0);" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "loesning2:=eval(loesning,_B1=1);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 74 "Vi inds\346tter nu l\370sning1 i ligning2 for at unders\370ge om det er en l\370sning." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "eval(ligning2,x=loesning1);" }}}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 55 "Vi vil gerne have venstresiden udregnet. Vi pr\370 ver med " }{TEXT 0 8 "simplify" }{TEXT -1 2 " ." }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "simplify(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 15 "Det hjalp ikke." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 145 "Vi pr\370ver s \345 med expand. Expand kan bruges til at gange ind i parenteser. Men \+ expand kan ogs\345 benyttes til at anvende additionsformler for sinus. " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "expand(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 48 "Denne udregning var baseret p\345 additio nsformlen:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "sin(x+y): " } }{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "%=expand(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 13 "Opgaver 16-17" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 124 "Find l\370sningerne til hver af f\370lge nde. Indtegn graferne for venstre-side og h\370jre-side af ligningen i samme koordinatsystem." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 6 "16) " } {XPPEDIT 18 0 "cos(x) = sin(x);" "6#/-%$cosG6#%\"xG-%$sinG6#F'" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 6 "17) " } {XPPEDIT 18 0 "cos(x) = 1/2;" "6#/-%$cosG6#%\"xG*&\"\"\"F)\"\"#!\"\"" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 21 "Numeriske beregninger " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 109 "Som vi har set ovenfor kan Maple reg ne med eksakte angivelser af tal ved hj\346lp af br\370ker, kvadratr \370dder, m.m." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 57 "Men Maple er ogs\345 i \+ stand til at arbejde med decimal tal." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "x:=0.5;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 66 "Det sk al bem\346rkes at Maple anser 0.5 for at v\346re et andet tal end " } {XPPEDIT 18 0 "1/2;" "6#*&\"\"\"F$\"\"#!\"\"" }{TEXT -1 2 " ." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 "Det bliver tydeligt hvis udregner " } {XPPEDIT 18 0 "sqrt(.5);" "6#-%%sqrtG6#-%&FloatG6$\"\"&!\"\"" }{TEXT -1 5 " og " }{XPPEDIT 18 0 "sqrt(1/2);" "6#-%%sqrtG6#*&\"\"\"F'\"\"#! \"\"" }{TEXT -1 1 "." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "sqrt (x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "sqrt(1/2);" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 108 "Hvis vi bruger eksakte tal som in put i en Maple kommando s\345 vil Maple ogs\345 give et eksakt resulta t som svar." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 114 "Men hvis der indg\345r et decimaltal i inputtet s\345 g\346tter Maple p\345, at vi kun er inter essede i tiln\346rmede resultater." }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" } }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 62 "Man kan dog beregne en tiln\346rmet v \346rdi til et eksakt resultat." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 27 "Dette \+ g\370res med kommandoen " }{TEXT 0 5 "evalf" }{TEXT -1 1 "." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "evalf(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "evalf(1000 * Pi);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 81 "Bem\346rk at der regnes med 10 decimalers n\370jagtighed. Dette bestemmes af variablen " }{TEXT 0 6 "Digits" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "Digits;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 30 "Man kan selv \346ndre v\346rdien af " }{TEXT 0 6 "Digits" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "Digits:=50;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "evalf(Pi);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 60 "Alle efterf\370lgende numeriske beregninger (indtil v \346rdien af " }{TEXT 0 6 "Digits" }{TEXT -1 70 " \346ndres igen) udf \370res nu med 50 decimaler , hvilket g\370r dem langsomme." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 86 "Man kan dog ogs\345 f\345 foretaget en beregnin g med et andet antal decimaler uden at \346ndre " }{TEXT 0 6 "Digits" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 24 "I f\370lgende udregning af " }{XPPEDIT 18 0 "sqrt(2);" "6#-%%sqrtG6#\"\"#" }{TEXT -1 24 " reg nes med 38 decimaler" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "eva lf[38](sqrt(2));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 87 "I f\370lgende eksempel er vi interesserede i at finde r\370dder i et tredjegrads po lynomium. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 82 "(N\345r vi begynder p\345 e t nyt eksempel, kan det v\346re en fordel at benytte kommandoen " } {TEXT 0 7 "restart" }{TEXT -1 37 ", der blandt andet har den effekt at " }{TEXT 0 6 "Digits" }{TEXT -1 21 " igen s\346ttes til 10.)" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart;" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "Digits;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "p:=x^3-3*x+1;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 38 "Vi tegner f\370rst grafen for polynomiet." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 16 "plot(p,x=-3..3);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 40 "Vi kan se at der tre forskellige r\370dder." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "solve(p=0);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 38 "Vi ser at Maple finder tre l\370sninger. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 176 "Men det ser ret uoverskueligt ud. Blandt andet ford i Maple regner med komplekse tal (en udvidelse af de reelle tal, som I l\346rer om p\345 matematik kurset senere i dette semester)." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 48 "Maple kan dog omskrive l\370sningerne til f\370lgende " }}}{PARA 0 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "2*cos(2/9*Pi)-cos(2/9 *Pi)-sin(2/9*Pi)*3^(1/2)-cos(2/9*Pi)+sin(2/9*Pi)*3^(1/2);" "6#,,*&\"\" #\"\"\"-%$cosG6#*(F%F&\"\"*!\"\"%#PiGF&F&F&-F(6#*(F%F&F+F,F-F&F,*&-%$s inG6#*(F%F&F+F,F-F&F&)\"\"$*&F&F&F%F,F&F,-F(6#*(F%F&F+F,F-F&F,*&-F36#* (F%F&F+F,F-F&F&)F7*&F&F&F%F,F&F&" }{TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 149 "Men konklusionen er at selv om Maple kan regne med \+ eksakte l\370sninger s\345 kan udtrykkene blive s\345 komplicerede at \+ man foretr\346kker en tiln\346rmet l\370sning." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 36 "Til det form\345l bruger \+ vi kommandoen " }{TEXT 0 6 "fsolve" }{TEXT -1 49 ", der finder en tiln \346rmet l\370sning til en ligning." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "fsolve(p=0);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 30 " De tre l\370sninger skrives i en " }{TEXT 260 5 "f\370lge" }{TEXT -1 21 " (engelsk: sequence)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 74 "Lad os give \+ f\370lgen af l\370sninger et navn, s\345 vi kan henvise til den senere ." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "roedder:=%: " }{TEXT -1 59 "(Bem\346rk at colon betyder at l\370sningerne ikke skrives igen .)" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 98 "Vi kan nu henvise til de tr e tal i f\370lgen ved at skrive hhv. roedder[1], roedder[2] og roedder [3]." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 100 " Vi kan inds\346tte f.eks. det f\370rste tal i f\370lgen i polynomiet p for at kontrollere at det er en rod." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "eval(p,x=roedder[1]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 82 "Det skulle give 0 hvis roedder[1] var en eksakt rod. Nu e r det kun meget t\346t p\345 0." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 42 "Vi pr\370ver ogs\345 med det andet tal i \+ f\370lgen." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "eval(p,x=roed der[2]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 151 "Bem\346rk decimal kommaet (som p\345 amerikansk er et pu nktum). Det betyder at resultatet ikke er det eksakte tal 0, men den t iln\346rmede decimalbr\370k 0,000 ..." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 120 "Betyder det nu at rodder[2] er en ek sakt l\370sning. Lad os pr\370ve at inds\346tte igen og denne gang reg ne med flere decimaler:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 " Digits:=15: eval(p,x=roedder[2]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 63 "Vi kunne ogs\345 \346ndre koefficienterne i p til at v\346re decim altal." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "p_decimal:=evalf( p);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 80 "Hvis vi regner videre med \+ dette polynomium vil Maple give tiln\346rmede resultater." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "solve(p_decimal=0);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 " " {TEXT -1 18 "L\370sning af ligning" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 43 "V i har set flere eksempler hvor kommandoen " }{TEXT 0 5 "solve" }{TEXT -1 34 " kan bruges til at l\370se ligninger." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 80 "Kommandoen kan l\370se ligninger af flere andre typer end dem v i har set tidligere." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 23 "F.eks f\370lgende ligning:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "exp(2*x+3)= sqr t(2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "solve(%);" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 58 "Vi kan ogs\345 studere ligninger h vori der indg\345r konstanter." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 79 "I f\370 lgende eksempel er a, b og c konstanter, som vi ikke har givet nogen v \346rdi." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "exp(a*x+b)=c;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 28 "Vi pr\370ver at l\370se ligning en:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "solve(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 84 "Vi opfatter a, b og c som konstanter og x som den ubekendte, men det ved Maple ikke." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 63 "Vi fort\346ller nu Maple at lig ningen skal l\370ses med hensyn til x." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "solve(%%,x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 55 " Vi kan inds\346tte l\370sningen i ligning for at kontrollere." }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "eval(%%%,x=%);" }}}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 13 "Opgaver 18-24" }}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 69 "18) S \370g efter hj\346lpe-siden for logaritme funktionen i Help-menuen." } }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 87 "19) Find en tiln\346rmet v\346rdi for logaritmen til 2 (den naturlige logaritme funktion)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 49 "20) Beregn de f\370rste 3000 decimaler af tallet " }{XPPEDIT 18 0 "Pi;" "6#%#PiG" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 139 "Unders\370g f\370lgende \+ polynomier: Tegn grafer, faktoriser, unders\370g om Maple kan bestemme r\370dder eksakt - hvis ikke s\345 find tiln\346rmede v\346rdier." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 6 "21) " }{XPPEDIT 18 0 "x^4-x^3-5*x^2+12; " "6#,**$%\"xG\"\"%\"\"\"*$F%\"\"$!\"\"*&\"\"&F'*$F%\"\"#F'F*\"#7F'" } }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 6 "22) " }{XPPEDIT 18 0 "x^3+x^2-8*x+5;" " 6#,**$%\"xG\"\"$\"\"\"*$F%\"\"#F'*&\"\")F'F%F'!\"\"\"\"&F'" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 6 "23) " }{XPPEDIT 18 0 "2*x^3-13*x^2-4*x+60;" "6#, **&\"\"#\"\"\"*$%\"xG\"\"$F&F&*&\"#8F&*$F(F%F&!\"\"*&\"\"%F&F(F&F-\"#g F&" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "24) " }{XPPEDIT 18 0 "x^5-x^4-15*x^ 3+x^2+38*x+10;" "6#,.*$%\"xG\"\"&\"\"\"*$F%\"\"%!\"\"*&\"#:F'*$F%\"\"$ F'F**$F%\"\"#F'*&\"#QF'F%F'F'\"#5F'" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 " " {TEXT -1 9 "Opgave 25" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 23 "a) Be tragt ligningen " }{XPPEDIT 18 0 "A*exp(alpha*t+beta) = C;" "6#/*&%\" AG\"\"\"-%$expG6#,&*&%&alphaGF&%\"tGF&F&%%betaGF&F&%\"CG" }{TEXT -1 9 " , hvor " }{XPPEDIT 18 0 "A;" "6#%\"AG" }{TEXT -1 2 ", " }{XPPEDIT 18 0 "C;" "6#%\"CG" }{TEXT -1 2 ", " }{XPPEDIT 18 0 "alpha;" "6#%&alph aG" }{TEXT -1 4 " og " }{XPPEDIT 18 0 "beta;" "6#%%betaG" }{TEXT -1 46 " er konstanter. L\370s ligningen med hensyn til " }{XPPEDIT 18 0 "t;" "6#%\"tG" }{TEXT -1 29 ". Inds\346t den fundne v\346rdi af " } {XPPEDIT 18 0 "t;" "6#%\"tG" }{TEXT -1 53 " i ligningen for at kontrol lere at det er en l\370sning." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 58 "I de f\370lgende sp\370rgsm\345l har kons tanterne f\370lgende v\346rdier:" }}{PARA 0 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "A = 1.4,C = .8,alpha = -.25,beta = 1.2;" "6&/%\"AG-%&FloatG6$\"#9!\"\"/% \"CG-F&6$\"\")F)/%&alphaG,$-F&6$\"#D!\"#F)/%%betaG-F&6$\"#7F)" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 22 "b) Beste m v\346rdien af " }{XPPEDIT 18 0 "t;" "6#%\"tG" }{TEXT -1 62 " (l\370s ningen til ligningen) med disse v\346rdier af konstanterne. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 "c) Tegn grafer ne for funktionerne " }{XPPEDIT 18 0 "f(t) = A*exp(alpha*t+beta);" "6# /-%\"fG6#%\"tG*&%\"AG\"\"\"-%$expG6#,&*&%&alphaGF*F'F*F*%%betaGF*F*" } {TEXT -1 5 " og " }{XPPEDIT 18 0 "g(t) = t-1;" "6#/-%\"gG6#%\"tG,&F' \"\"\"F)!\"\"" }{TEXT -1 26 " i samme koordinatsystem." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 18 "d) L\370s ligningen " }{XPPEDIT 18 0 "f(t) = g(t);" "6#/-%\"fG6#%\"tG-%\"gG6#F'" }{TEXT -1 2 " ." }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 65 "Dette arbejdsark er udarbejdet af \+ Leif Kj\346r J\370rgensen, 2003-2007." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 66 " Delvis baseret p\345 arbejdsark fremstillet af Ulf R\370nnow, 1999-200 2." }}}{MARK "0 0 0" 0 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 1 1 1 1 } {PAGENUMBERS 0 1 2 33 1 1 }