Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultetet

 

Calculus    Forår 2012

 
Hold 4


Miniprojekt 5:  Anvendelser af differentialligninger

 

Materiale:  A&E afsnit 3.7 side 206 - side 209 midt
                  A&E afsnit 17.6 side 964 midt - side 965 midt

Diskuter materialet i gruppen. Regn derefter nedenstående opgaver.

A&E afsnit   3.7:  25, 27, 29, 30
A&E afsnit 17.6:  Se opgavetekst nedenfor.

Regn desuden en mere tværgående opgave i calculuspensummet.


Diverse vink m.m.
Opgave 3.7.25:  Angiv desuden faseforskydningen (eng. phase-shift)  φ = ωt0 .
                          Facit:  y = (3/10)sin(10t) = (3/10)cos(10t - π/2) ,  ω = 10 rad/s,
                                    ν  = 5/π ≈ 1,59 Hz,  T = π/5 ≈ 0,62 s,  R = 0,3 ,  φ = π/2 rad
Opgave 3.7.27:  Mellemresultat:
                                     y = (3cos2 + 4sin2)cost + (-4cos2 + 3sin2)sint = 3cos(t -2) - 4sin(t - 2)
                          Facit:  y = 3cos(t - 2 + arccos(3/5)),  ω = 1 rad/s,  ν  = 1/(2π) ≈ 0,16 Hz,
                                     T = 2π ≈ 6,28 s,  R = 5,  φ = 2 - arccos(3/5) rad ≈ 61,46º
Opgave 3.7.29:  I SI-enheder:  F = - 0,3 N,  k = 90 kg/s2
                          Mellemresultater:  ω = 20π rad/s,  y = 10-2((-cos(20πt) + 1/(10π)sin(20πt)) m
                          Facit:  m = 9/(4π2) ≈ 0,023 kg,  R = 10-2sqrt(1 + 1/(10π)2) ≈ 1,0005 · 10-2 m
Opgave 3.7.30:  Mellemresultat:  k = 0,4 · (48π)2 kg/s2
                          Facit:    i.  16 Hz    ii.  48 Hz
Opgave 17.6.-:  Betragt opgave 3.7.25 igen, men nu som inhomogen differentialligning med højre-
                          side  sin10t .  Samme begyndelsesbetingelser.  Bestem løsningsfunktionen  y(t) ,
                          og forklar, hvorfor denne løsning svarer til resonans.
                          Facit:  y = (61sin10t - 10tcos10t) / 200

 
Facit til tværgående opgave
Delopgave 1:  Mellemresultat:  dy/dx = - y/sqrt(a2 - y2)
                        Facit:  x = a ln((a + sqrt(a2 - y2)/y) - sqrt(a2 - y2) ,  0 < y < a
Delopgave 2:  Mellemresultat:  | r'(y) | = a/y .  Facit:  s = - a ln(y/a) ,  a > y > 0
Delopgave 3:  Mellemresultat:  s = - aln(cosφ) .  Facit:  k = 1/atanφ =  y/asqrt(a2 - y2)
Delopgave 4:  A = 4πa2 (som kuglens areal) ,  V = (2/3)πa3 (halvdelen af kuglens volumen)
Delopgave 5:  Mellemresultater:  t = (sqrt(a2 - y2)/a) i - (y/a) j ,  n = (y/a) i + (sqrt(a2 - y2)/a) j
                        Facit:  (x1, y1) = (a ln((a + sqrt(a2 - y2)/y), a2/y)  samt spejlingen i y-aksen
Delopgave 6:  y1 = acosh(x1/a)   →    y = acosh(x/a)

 

 
Opdateret den