Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet
og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultetet
Lineær algebra Efterår 2012
Hold 4
Opgavesæt 20
Opgaver i SIF
Afsnit 6.5
Regnetekniske opgaver
3, 13, 37**, 41*, 63*, 67
Sand/falsk opgaver
17-36
Teoretiske opgaver
39, 40*, 42*, 47, 49*, 68
Matlab opgaver
71, 73
*
Diverse vink
6.5 40: Bemærk, at BTvi= ei. (Hvorfor?)
6.5 41: Bestem v3
, så (v1, v2,
v3) bliver en ortonormal basis for R3;
ligeledes w3 , så også
(w1, w2, w3)
bliver en ortonormal basis for R3. Benyt dernæst formlen i
opgave 6.5 40 (iii) til at bestemme matrixrepræsentationen for T.
6.5 42: Husk, at T repræsenteres af matricen
[T(e1) T(e2)
T(e3)] .
6.5 49: Husk, at Q og QT
har samme egenværdier.
6.5
63: Husk, at F(v) = T(v)
+ b , hvor T er en ortogonal lineær operator,
som repræsenteres af
en ortogonal matrix Q. I almindelighed kan vi ved at tage differenser
mellem de
opgivne værdier af F få to relationer, hvor Q - men ikke b
- indgår. Disse relationer kan
sammenfattes til en matrixligning, som løses mht. Q, jf. kompendiet
side 22 eks. 3.
Herefter vil b kunne bestemmes ud fra én af de opgivne værdier
af F.
I nærværende opgave fremkommer imidlertid den samme relation - bortset fra pro-
portionalitet - når der tages differenser mellem de opgivne værdier af F,
nemlig Q[1; -2] = [2; -1] . For at få yderligere en relation kan vi udnytte, at
T er indre produkt
bevarende, dvs. der må også gælde, at Q[2; 1] = ± [1; 2] . Der
bliver altså to muligheder.
I begge tilfælde løses den relevante matrixligning. Ved at benytte plus
fremkommer den løsning, der er angivet i bogens facit, og ved at benytte minus fremkommer
løsningen Q = [0 -1; -1 0] , b = [2; 7] .
**
Facit
6.5
37: Et par alternative facit: (1/35) [14√5 0 -7√5;
2√5 15√5 4√5; 15 -10 30] og
(1/35) [-30 6 17; 10 33 6; 15 -10 30] .