MAT1 og Mat-Øk 1 -- Efterår 2012

Introduktion til matematiske metoder

Mandag den 22. oktober 2012,  kl. 12:30
Sted: Strandvejen 12-14, Rum A314.

Dagens program

12:30-14:15

Forelæsning i A314.
Jeg starter på teorien for anden ordens differensligninger. Jeg fortæller lidt om det generelle problem, efter starten af afsnit 6, og går derefter i gang med afsnit 6.1, homogene anden ordens differensligninger med konstante koeffcienter. I dette afsnit skal vi bruge de komplekse tal. Jeg vil fortælle noget om dem i dag.

14:15-16:15

Opgaveregning i grupperum.
Læs de gennemgåede afsnit af noterne. Regn dernæst opgaverne på nedenstående liste.
1. Exercise 4.6, alle spørgsmål (hvis den ikke blev løst sidste gang).
2. Exercise 4.7.
3. Eksamen december 2010, Opgave 2, spørgsmål 1 (side 45 i [AJ-v1]).
4. Løs begyndelsesværdiproblemet x(n + 1) = 3x(n) + 3ⁿ; x(0) = 4.
5. Løs begyndelsesværdiproblemet x(n + 1) = 3x(n) + 2; x(0) = 4.
6. Brug resultater fra de foregående opgaver til at løse begyndelsesværdiproblemet x(n + 1) = 3x(n) - 1 + 3ⁿ; x(0) = 2.
7. Vis følgende resultat: Enhver løsning til en differensligning x(n + 1) = a(n)x(n) + c(n), n∈ N₀ kan skrives på formen x(n) = x_h(n)+x_p(n), hvor x_p(n) er en løsning til den inhomogene og x_h(n) er en løsning til den tilsvarende homogene ligning: x(n + 1) = a(n)x(n), n∈ N₀.
Konkluder, at man kan finde samtlige løsninger til den inhomogene ligning ved at bestemme een partikulær løsning x_p(n) til den inhomogene ligning, og dertil lægge samtlige løsninger til den homogene ligning. Hvis man kombinerer dette resultat med entydighedsresultatet i Theorem 4.2 i [AJ-v1], så giver det mulighed for at bestemme en partikulær løsning ved at gætte.
Anvend denne løsningsmetode på problemet x(n + 1) = 3x(n) - 1, x(0) = 4, ved at gætte på en løsning på formen y(n) = α, og bestemme konstanten α ved at indsætte i ligningen.
8. Brug metoden beskrevet ovenfor til at bestemme samtlige læsninger til differensligningen x(n + 1) = 4x(n) + 7.