MAT3 og Mat-Øk 3 -- Efterår 2013

Analyse 1

Mandag den 4. november 2013,  kl. 08:15
Sted: grupperum.

Dagens program

08:15-12:00

I. Et lemma fra sidste gang: antag, at $f$ er integrabelt på intervallet $[a,b]$. Så er $|f|$ også Riemann integrabelt, og

$$|\int_a^b f(x)dx|\leq \int_a^b |f(x)| dx$$.

Vink til beviset.

Antag først, at $|f|$ er integrabelt (vi viser det senere). Vi har at $f(x)\leq |f(x)|$ og $-f(x)\leq |f(x)|$. Ved at bruge 7.2.5 får vi, at $ \int_a^b f(x)dx\leq \int_a^b |f(x)|dx$ og $ -\int_a^b f(x)dx\leq \int_a^b |f(x)|dx$. Det betyder, at $|\int_a^b f(x)dx|\leq \int_a^b |f(x)| dx$.

Derfor mangler vi kun at bevise, at $|f|$ er integrabelt. Vi gør det nu. Lad $P$ være en deling af $[a,b]$. Hvis $u$ og $v$ ligger i $[x_{j-1},x_j]$, så har vi at $f(u)-f(v)\leq M_j(f)-m_j(f)$ og samtidig $f(v)-f(u)\leq M_j(f)-m_j(f)$, derfor:

$$|f(u)-f(v)|\leq M_j(f)-m_j(f).$$ Ved hjælp af trekantsuligheden har vi at:

$$|f(u)|\leq |f(v)|+|f(u)-f(v)|\leq |f(v)|+M_j(f)-m_j(f),$$ eller:

$$|f(u)|\leq |f(v)|+M_j(f)-m_j(f).$$ Ved at først tage supremum over $u$ og bagefter infimum over $v$, vi får:

$$M_j(|f|)\leq m_j(|f|)+M_j(f)-m_j(f).$$ Det vil sige:

$$M_j(|f|)- m_j(|f|)\leq M_j(f)-m_j(f).$$ Det medfører til:

$$U(|f|,P)- L(|f|,P)\leq U(f,P)-L(f,P).$$ Beviset afsluttes ved at anvende Sætning 7.1.9.

II. Læs Sætning 7.3.1 og 7.3.5 i [Lay].

III. Læs Eksempel 7.3.2, Korollar 7.3.3, Eksempel 7.3.4 og Practice 7.3.7 i [Lay].

Literatur: [Lay] afsnit 7.2 og 7.3.