MAT3 og Mat-Øk 3 -- Efterår 2013

Analyse 1

Mandag den 23. september 2013,  kl. 08:15
Sted: Rum G5-112.

Dagens program

08:15-10:00

Repetition: konvergens og regneregler for konvergente følger. Jeg skal gennemgå en del eksempler fra afsnit 4.2 og 4.3, og definere Cauchy følgerne.

10:00--12:00

Opgaveregning: afsnit 4.3 i [Lay], opgave 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Vink til opgave 3(d). Vi har at $0< s_1=1< 1+\sqrt{3}$, der giver $s_2^2=2s_1+2\leq 4+2\sqrt{3}=(1+\sqrt{3})^2$ og derfor $0< s_2< 1+\sqrt{3}$. Ved hjælp af induktion viser man, at $0< s_n< 1+\sqrt{3}$ for alle $n\geq 1$. Dvs. er følgen begrænset. Polynomiet $P(x)=-x^2+2x+2$ har positive værdier hvis $1-\sqrt{3}< x< 1+\sqrt{3}$, og fordi $s_{n+1}-s_n=(s_{n+1}^2-s_n^2)/(s_{n+1}+s_n)=P(s_n)/(s_{n+1}+s_n)> 0$ for alle $n\geq 1$ konkluderer vi, at følgen er voksende. Det betyder, at følgen er konvergent og har grænsen $s\in [0,1+\sqrt{3}]$. Ved at tage grænsen i begge sider af $s_{n+1}^2=2s_n+2$ får man ligningen $s^2=2s+2$. Den eneste mulighed er $s=1+\sqrt{3}$.

Vink til opgave 7. Vis ved hjælp af induktion, at $0 < s_n < 3$ for alle $n \geq 1$. Polynomiet $P(x)=-x^2+x+6$ tager positive værdier for $-2 < x < 3$. Vis bagefter, at $s_{n+1}-s_n=P(s_n)/(s_{n+1}+s_n) > 0$ for alle $n\geq 1$.

Literatur: afsnit 4.2 og 4.3 i [Lay].