MAT3, Mat-Øk 3, Mat-Tek3 -- Efterår 2014

Analyse 1

Fredag den 3. oktober 2014,  kl. 08:15
Sted: Rum NJV14, 4-117.

Dagens program

08:15-10:15

Repetition og forelæsning: kontinuerte reelle funktioner.

10:30--12:00

Exercises: page 214 in [Lay], exercises 3, 7, 8 and 9.
Hint for exercise 3:
b). Note that $x^2+3x-4=(x-1)(x+4)$.
f). Note that $(\sqrt{4+x}-2)((\sqrt{4+x}+2)=x$ if $x\geq -4$.

Hint for exercise 7:
c). Use that $|\sqrt{x}-\sqrt{c}|=|x-c|/ (\sqrt{x}+\sqrt{c})\leq |x-c|/\sqrt{c}$ if $c>0$ and $x\geq 0$.

Hint for exercise 8:
a). Use that $| |a|-|b| |\leq |a-b|$ for all real numbers $a$ and $b$.
b). If $L>0$, then use $|\sqrt{f(x)}-\sqrt{L}|=|f(x)-L|/\sqrt{L}$.

Hint for exercise 9:
a). Consider the sequence $x_n=1/n$.
b). Compute the limit with the sequence $x_n=1/(2n\pi)$ and then with the sequence $y_n=1/(\pi/2+2n\pi)$.
c). Use that $|\sin(1/x)|\leq 1$ for all $x\neq 0$.

Literatur: Vi skal gå gennem kapitlen 'Limits and Continuity' (starter på side 207) fra [Lay]. De vigtigste sætninger er sætning 3.6 på side 228 (sætningen om de mellemliggende værdier) og sætning 4.6 på side 235 (en kontinuert reel funktion defineret på en kompakt mængde er ligeligt kontinuert).