MAT1 og SUMA3 - Efterår 2006

Vektorrum og Metriske Rum

Om eksamen

Eksamen foregår på følgende måde. Eksaminanden trækker ét af hovedspørgsmålene nedenfor, og har derefter ca. 30 minutter til forberedelse af en præsentation af det trukne spørgsmål. Ved forberedelsen kan anvendes lærebøger og notater. Selve præsentationen gives på dansk (eller engelsk).

Efter forberedelsen begynder eksamen. Det er eksaminanden, der har initiativet til præsentationen. Det er en del af eksamen at udvælge og præsentere de centrale dele i det trukne spørgsmål. Eksaminanden har ca. 20 minutter til denne præsentation.

Når denne præsentation er afsluttet, og efter eventuelle supplerende spørgsmål fra eksaminator OG censor, får eksaminanden sit bispørgsmål. Dette vedrører den halvdel af pensum, som ikke indgik i det forberedte spørgsmål. Det drejer sig om fundamentale definitioner og resultater fra teorien. Man vil ikke blive bedt om at give beviser. Bispørgsmålet tager ca. 5-7 minutter. Eksaminanden kan ikke forvente, at den totale tidsramme på ca. 25-27 minutter overskrides.

Herefter forlader eksaminanden eksamenslokalet, og censor og eksaminator voterer. Når dette er afsluttet, kommer eksaminanden ind i eksamenslokalet, og får sin karakter, med en begrundelse for den.

Vedr. hjælpemidler under præsentationen af det forberedte spørgsmål: Det er tilladt at medbringe en kortfattet disposition på et enkelt A4 ark, men hvis en sådan anvendes, skal den afleveres til censor efter præsentationen, og indgår i bedømmelsen af præsentationen.

Eksamensspørgsmål

• Metriske rum
  1. Bolzano-Weierstrass sætning, og dens anvendelser. (The Bolzano-Weierstrass theorem, and its applications).
  2. Uniform konvergens af reelle funktionsfølger. (Uniform convergence of sequences of real-valued functions).
  3. Fuldstændige metriske rum. (Complete metric spaces).
  4. Fixpunktsætningen og dens anvendelser. (The fixed-point theorem and applications).
  5. Kompakte mængder i et metrisk rum. (Compact sets in metric spaces).
  6. Kontinuerte funktioner mellem topologiske rum og deres egenskaber. (Continuous functions between topological spaces and their properties).
• Vektorrum
  1. Underrum og direkte sum af underrum. (Subspaces and direct sums of subspaces).
  2. Basis og dimension. (Basis and dimension).
  3. Nulrum og billedrum for lineær afbildning. (Null-space and range of linear maps).
  4. Lineære afbildninger og deres matricer. (Linear maps and their matrices).
  5. Indre produkt og ortonormale baser. (Inner products and orthonormal bases).
  6. Spektralsætningen i komplekse vektorrum. (The complex spectral theorem).