Algebra 1
14. kursusgang, tirsdag den 11. november
Forelæsning 12.30-14.15
Lauritzen, fra afsnit 2.10: side 92-95
Biggs, Discrete Mathematics, 2 sider om diedergrupper: fra side 446, linie 4 til midt på side 447
Opgaveregning 14.15-16.15
- (Fra Humphreys, A course in group theory.)
Lad G=Sn og lad {v1, . . . ,vn} være en basis for ℝn. For σ∈Sn og v=c1v1 + . . . + cnvn defineres σ⋅v=c1vσ(1) + . . . + cnvσ(n).
- Vis at dette definerer en virkning af Sn på ℝn.
- Bestem både Gv og Gv når n=4 og v=v1+v2+v3+v4.
- Bestem både Gv og Gv når n=4 og v=v1+v3.
- Lad G=Sn og lad S={(a,b) | 1≤a,b≤n}. For σ∈Sn defineres σ⋅(a,b) = (σ(a),σ(b)).
- Vis at dette definerer en virkning af Sn på S.
- Bestem alle baner under denne virkning.
- For hver (a,b) ∈S: bestem stabilisatoren af (a,b)
- Vis at D6 = S3.
- For hvilke værdier af n er D2n en undergruppe af An.
- Lad G1 og G2 være grupper. Find en isomorfi φ: G1 × G2 → G2 × G1.
- Man kan bevise at enhver endelig abelsk gruppe er isomorf med et direkte produkt af cykliske grupper - altså på formen ℤ/n1ℤ × ℤ/n2ℤ × ... × ℤ/nrℤ. Bestem ved hjælp af denne påstand og proposition 2.8.2 alle abelske grupper (op til isomorfi) af orden højst 15.
Facit