Algebra 1
16. kursusgang, torsdag den 14. november
Selvstudium i grupperne 8.15-12.00
Læs afsnit 2.9.4 i Lauritzens bog.
Opgaver
- Lad H = {e, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}. Vis at H er en normal undergruppe af A4. Bestem kompositionstavlen for kvotientgruppen A4/H. Er den denne gruppe isomorf med en anden kendt gruppe?
- Opgaver i Lauritzen side 108: 41
- Lad Q være terningen i ℝ3 med hjørner (1,1,1), (1,1,-1), (1,-1,1), (1,-1,-1), (-1,1,1), (-1,1,-1), (-1,1,-1), (-1,-1,-1).
Lad G være gruppen af alle rotation i ℝ3, der afbilder Q i
sig selv. (Spejlinger er ikke inkluderet i G. G er altså en undergruppe
af SO(3,ℝ): ortogonale 3x3 matricer med determinant 1.)
- Vis stabilisatoren G(1,1,1) har orden 3. Altså at G har tre rotationer (inklusiv den identiske afbildning) der afbilder punktet (1,1,1) i sig selv.
- Vis at G har orden 24.
- Q har fire diagonaler, som kan numereres 1,2,3,4, f.eks.:
Diagonal nr. 1: mellem punkterne (1,1,1) og (-1,-1,-1),
Diagonal nr. 2: mellem punkterne (1,1,-1) og (-1,-1,1),
Diagonal nr. 3: mellem punkterne (1,-1,1) og (-1,1,-1),
Diagonal nr. 4: mellem punkterne (-1,1,1) og (1,-1,-1).
Vis at der for alle {i,j}⊆{1,2,3,4} findes en rotation der ombytter
diagonal nr. i og nr. j og afbilder de to andre diagonaler i sig selv
(men ændrer retningen af de diagonaler der afbildes i sig selv).
- Vis at G er isomorf med S4.
- En fodbold af består 12 femkanter og 20 sekskanter, se football.
På billedet er vist hvordan man kan tegne et Ikosaeder med et punkt
midt i hver af de 12 femkanter. Tilsvarende kan man tegne et dodekaeder
med et punkt midt i hver af de 20 sekskanter, se wiki/Dodecahedron.
Lad G være gruppen af alle rotation i ℝ3 der afbilder en fodbold (eller et dodecaeder eller et ikosaeder) i sig selv.
- Vis at G har orden 60.
- Billedet i wiki/Dodecahedron og koordianterne for punkterne viser at der er en terning, hvis otte hjørner også er hjørner i dodekaederet.
Vis at der er at for ethvert hjørne i et dodekaeder findes to terninger, der har dette punkt som et af hjørnerne.
Vis at der dermed er fem sådanne terninger indskrevet i et dodekaeder.
En rotation i G permuterer de fem indskrevne terninger. Man kan bevise at G er isomorf med A5.
- Lad 𝔽5 = ℤ/5ℤ være legemet med fem elementer. Lad GL(2,𝔽5) være mængden af invertible 2x2 matricer over 𝔽5. Determinanten af en matrix i GL(2,𝔽5) beregnes på den sædvanlige måde og opfylder sædvanlige regneregler for determinant. det: GL(2,𝔽5)→𝔽5\{0} er altså en homomorfi.
- Bestem ordenen af GL(2,𝔽5).
- Vis at det: GL(2,𝔽5)→𝔽5\{0} er surjektiv.
- Lad SL(2,𝔽5) (den specielle lineære gruppe) betegne kernen af det. Bestem ordenen af SL(2,𝔽5).
- Lad Z = { aI2 | a ∈ 𝔽5} ∩ SL(2,𝔽5). Bestem alle elementer i Z.
- Vis Z er en normal undergruppe af SL(2,𝔽5).
- Lad PSL(2,𝔽5) betegne kvotientgruppen SL(2,𝔽5) / Z. Bestem ordenen af PSL(2,𝔽5).
Man kan vise at PSL(2,𝔽5) er isomorf med A5 og at den dermed er simpel.
På samme måde kan man definere PSL(n,𝔽q) som er simpel for n≥2 med mindre ....
Faktisk PSL(n,𝔽2) = GL(n,𝔽2) som er simpel når n≥3.
