Opgave 2 

Vi kan eventuelt skrive F på følgende måde: 

F(x, y) = `+`(`*`(`^`(x, 2)), `*`(`^`(y, 2))) 

F(x, y) = `+`(`*`(`^`(x, 2)), `*`(`^`(y, 2))) (1)
 

(a) Fra Slides, side 15 ved vi at den lineære approximation omkring (a, b) = (2, 2) har formen: 

`≈`(f(x, y), `+`(f(a, b), `*`(f[x](a, b), `*`(`+`(x, `-`(a)))), `*`(f[y](a, b), `*`(`+`(y, `-`(b)))))) 

Det betyder at tangentplanen til grafen i punktet a, b  har ligning   

I vores tilfælde skal vi blot indsættet F  i stedet for f. 

Vi differentierer: F[x](x, y) = `+`(`*`(2, `*`(x)))   og  F[y](x, y) = `+`(`*`(2, `*`(y)))   og indsætter punktet  2, 2:  F[x](2, 2) = 4   og F[y](2, 2) = 4.  Desuden er F(2, 2) = 8. 

Vi får `and`(`≈`(F(x, y), `+`(8, `*`(4, `+`(x, `-`(2))), `*`(4, `+`(y, `-`(2))))), `+`(8, `*`(4, `+`(x, `-`(2))), `*`(4, `+`(y, `-`(2)))) = `+`(`*`(4, `*`(x)), `*`(4, `*`(y)), `-`(8.)))   

 

Tegning af grafen og tangentplanen: 

Plot_2d
 

(b)  Vælg f.eks. x = 2.3, y = 1.8. Så er F(2.3, 1.8) = `+`(`^`(2.3, 2), `^`(1.8, 2)) 

F(2.3, 1.8) = 8.53 (2)
 

Den lineære approximation:  `+`(`*`(4, 2.3), `*`(4, 1.8), `-`(8)) 

8.4 (3)
 

Den lineære approximation er tættere på F(x, y) hvis x, y  er tættere på   

 

 

Opgave 3 

 

(a)  Lad F[A](x, y) = sqrt(`+`(`*`(`^`(`+`(x, 0), 2)), `*`(`^`(`+`(y, 0), 2))))  angive afstanden mellem det ukendte punkt x, y  og punktet   

Tilsvarende er F[B](x, y) = sqrt(`+`(`*`(`^`(`+`(x, `-`(10)), 2)), `*`(`^`(`+`(y, 0), 2)))) ,  F[C](x, y) = sqrt(`+`(`*`(`^`(`+`(x, 0), 2)), `*`(`^`(`+`(y, `-`(10)), 2))))   og   

Vores observationer så  (ikke-lineariseret)  F[A](x, y) = 8, F[B](x, y) = 8, F[C](x, y) = 6, F[D](x, y) = 6. 

For at finde den lineariserede observationsligning skal vi bruge formlen side 22 i Slides.Rækkerne i A er gradientvektorer for funktionerne hhv. F[A], F[B], F[C], F[D] 

hvor punktet `^`(x[P], 0), `^`(y[P], 0)  indsættes. 

På højresiden indsættes b[1] = b[A], b[2] = b[B], b[3] = b[C], b[4] = b[D]  og  `^`(b[i], 0) = F[i](`^`(x[P], 0), `^`(y[P], 0))   hvor    Altså 

b = Vector[column](%id = 18446883944453965214) 

Gradientvektorer er udregnet for denne type af funktioner på side 25 i Slides. 

A = Matrix(%id = 18446883944453965334) 

Den lineariserede observationsligning er så (Slides, side 22): 

`*`(A, `*`(Vector[column](%id = 18446883944453965574))) = `+`(b, r) 

hvor  Vi kan eventuelt skrive x[P]  og y[P]  i stedet for x  og y. 

 

(b)  Nu indsættes  `^`(x[P], 0) = 5, `^`(y[P], 0) = 5.  Så er `and`(`^`(b[A], 0) = sqrt(`+`(`*`(`^`(`+`(5, 0), 2)), `*`(`^`(`+`(5, 0), 2)))), `and`(sqrt(`+`(`*`(`^`(`+`(5, 0), 2)), `*`(`^`(`+`(5, 0), 2)))) = sqrt(50), sqrt(50) = 7.0711)). Tilsvarende er  

Dermed er b = Vector[column](%id = 18446883944453965694)  og  

 

Normalligningen  Typesetting:-delayDotProduct(Typesetting:-delayDotProduct(`^`(A, T), A, true), Vector[column](%id = 18446883944453965934), true) = Typesetting:-delayDotProduct(`^`(A, T), b, true)  bliver så 

`*`(Matrix(%id = 18446883944453966414), `*`(Vector[column](%id = 18446883944453966534))) = Vector[column](%id = 18446883944453966294) 

 

Altså `+`(x, `-`(5)) = 0, `+`(y, `-`(5)) = 1.4142  og derfor x = 5, y = 6.4142.  Vi sætter derfor   

 

(c)  Så er  Desuden er  

Nu er `and`(A = Matrix(%id = 18446883944453966774), Matrix(%id = 18446883944453966774) = Matrix(%id = 18446883944453966654))   og   

Normalligningen Typesetting:-delayDotProduct(Matrix(%id = 18446883944453967014), Vector[column](%id = 18446883944453967134)) = Vector[column](%id = 18446883944453966894)  har løsning   

Vi finder altså `*`(`^`(x[P], 2)) = 5, `*`(`^`(y[P], 2)) = 6.3979. 

 

(d)  På samme måde finder vi Altså  `*`(`^`(x[P], 3)) = 5, `*`(`^`(y[P], 3)) = 6.3984. 

(e)  Fixpunkterne og afstandene til det ukendte punkt er symmetrisk omkring aksen med ligning x = 5.  Da vi starter på denne linie med `^`(x[P], 0), `^`(y[P], 0)  vil vi blive på denne linie. 

 

(f)  Afstand til A og B:  8.1203.  Afstand til C og D:  6.1621.