Opgave 2 

Vi kan eventuelt skrive F på følgende måde: 

(1)

 

(a) Fra Slides, side 15 ved vi at den lineære approximation omkring har formen: 

Det betyder at tangentplanen til grafen i punktet  har ligning   

I vores tilfælde skal vi blot indsættet  i stedet for . 

Vi differentierer:   og     og indsætter punktet  :     og  Desuden er  

Vi får   

Tegning af grafen og tangentplanen: 

(b)  Vælg f.eks. . Så er  

(2)

 

Den lineære approximation:   

(3)

 

Den lineære approximation er tættere på hvis  er tættere på   

Opgave 3 

(a)  Lad  angive afstanden mellem det ukendte punkt  og punktet   

Tilsvarende er ,     og   

Vores observationer så  (ikke-lineariseret)   

For at finde den lineariserede observationsligning skal vi bruge formlen side 22 i Slides.Rækkerne i er gradientvektorer for funktionerne hhv.  

hvor punktet  indsættes. 

På højresiden indsættes  og     hvor    Altså 

Gradientvektorer er udregnet for denne type af funktioner på side 25 i Slides. 

Den lineariserede observationsligning er så (Slides, side 22): 

hvor  Vi kan eventuelt skrive  og  i stedet for  og . 

(b)  Nu indsættes    Så er . Tilsvarende er  

Dermed er  og  

Normalligningen    bliver så 

Altså  og derfor .  Vi sætter derfor   

(c)  Så er  Desuden er  

Nu er   og   

Normalligningen  har løsning   

Vi finder altså . 

(d)  På samme måde finder vi Altså  . 

(e)  Fixpunkterne og afstandene til det ukendte punkt er symmetrisk omkring aksen med ligning .  Da vi starter på denne linie med  vil vi blive på denne linie. 

(f)  Afstand til A og B:  .  Afstand til C og D:  .