Opgave 2
Vi kan eventuelt skrive F på følgende måde:
(1) |
(a) Fra Slides, side 15 ved vi at den lineære approximation omkring har formen:
Det betyder at tangentplanen til grafen i punktet har ligning
I vores tilfælde skal vi blot indsættet i stedet for .
Vi differentierer: og og indsætter punktet : og Desuden er
Vi får
Tegning af grafen og tangentplanen:
(b) Vælg f.eks. . Så er
(2) |
Den lineære approximation:
(3) |
Den lineære approximation er tættere på hvis er tættere på
Opgave 3
(a) Lad angive afstanden mellem det ukendte punkt og punktet
Tilsvarende er , og
Vores observationer så (ikke-lineariseret)
For at finde den lineariserede observationsligning skal vi bruge formlen side 22 i Slides.Rækkerne i er gradientvektorer for funktionerne hhv.
hvor punktet indsættes.
På højresiden indsættes og hvor Altså
Gradientvektorer er udregnet for denne type af funktioner på side 25 i Slides.
Den lineariserede observationsligning er så (Slides, side 22):
hvor Vi kan eventuelt skrive og i stedet for og .
(b) Nu indsættes Så er . Tilsvarende er
Dermed er og
Normalligningen bliver så
Altså og derfor . Vi sætter derfor
(c) Så er Desuden er
Nu er og
Normalligningen har løsning
Vi finder altså .
(d) På samme måde finder vi Altså .
(e) Fixpunkterne og afstandene til det ukendte punkt er symmetrisk omkring aksen med ligning . Da vi starter på denne linie med vil vi blive på denne linie.
(f) Afstand til A og B: . Afstand til C og D: .