CSB 5. april 2004Opgaver vedr\370rende sammensatte kvadraturreglerrestart;Opgaverne har til form\345l at gennemf\370re numeriske eksperimenter, for at verificere de fejlvurderinger, som er givet i Turner.Vi starter med at give formlerne for de tre sammensatte regler, midtpunktsreglen, trapezreglen og Simpsons regel, i form af Maple procedurer.MidtpunktsreglenmyMidtpunktN:= proc(f,a,b,N)
local h, res, k;
h:= (b-a)/N;
evalf(h*sum(f(a+(k+1/2)*h),k=0..N-1));
end;TrapezreglenmyTrapezN:= proc(f,a,b,N)
local h, res, k;
h:= (b-a)/N;
evalf(h/2*(f(a)+2*sum(f(a+k*h),k=1..N-1)+f(b)));
end;Simpsons regelmySimpsonN:= proc(f,a,b,N)
local h, res, k;
h:= (b-a)/N;
evalf(h/6*(f(a)+2*sum(f(a+k*h),k=1..N-1)+4*sum(f(a+(k+1/2)*h),k=0..N-1)+f(b)));
end;Vi starter med Midtpunktsreglen. Med NiNJIk5HNiI= inddelinger og l\346ngde af inddeling NiMvSSJoRzYiKiYsJkkiYkdGJSIiIkkiYUdGJSEiIkYpSSJOR0YlRis= er fejlvurderingerne i Turner (se formlerne (5.10), (5.11), og (5.12)) af formen NiMvLUkiRUc2IjYjJkkiTUdGJjYjSSJOR0YmKiZJIkNHRiYiIiIqJEkiaEdGJiIiI0Yu, NiMvLUkiRUc2IjYjJkkiVEdGJjYjSSJOR0YmKiZJIkNHRiYiIiIqJEkiaEdGJiIiI0Yu, og NiMvLUkiRUc2IjYjJkkiU0dGJjYjSSJOR0YmKiZJIkNHRiYiIiIqJEkiaEdGJiIiJUYu, for hhv. midtpunktsreglen, trapezreglen, og Simpsons regel. Opgave 1Overvej, at vi baseret p\345 disse fejlvurderinger (se ogs\345 diskussionen p\345 side 135 i Turner) kunne forvente, at forholdet mellem fejlene NiMtSSJFRzYiNiMmSSJNR0YlNiNJIk5HRiU= og NiMtSSJFRzYiNiMmSSJNR0YlNiMqJiIiIyIiIkkiTkdGJUYs er cirka NiMiIiU=.Opgave 2Overvej, at for Trapezreglen b\370r vi kunne forvente, at NiMqJi1JIkVHNiI2IyZJIlRHRiY2I0kiTkdGJiIiIi1GJTYjJkYpNiMqJiIiI0YsRitGLCEiIg== er cirka 4, og at for Simpsons regel er NiMqJi1JIkVHNiI2IyZJIlNHRiY2I0kiTkdGJiIiIi1GJTYjJkYpNiMqJiIiI0YsRitGLCEiIg== cirka 16.Vi skal nu lave en r\346kke numeriske eksperimenter for at se hvor godt ovenst\345ende passer. Vi pr\370ver f\370rst at gentage eksperimentet i Turner side 135 for Simpsons regel. Vi tager funktioneng:=x->x^4;Vi integrerer over intervallet fra 1 til 4. Resultatet er:eksakt:=int(x^4,x=1..4);Vi beregner derefter fejlene for et antal v\346rdier af NiMvSSJORzYiKSIiI0kiakdGJQ==, NiNJImpHNiI==1,2,3,4,5.for j from 1 to 5 do
x:=evalf(abs(mySimpsonN(g,1,4,2^j)-eksakt)):
fejl[j]:=x:
end do:Nu laver vi s\345 en lille tabel over fejlforholdene for j from 2 to 5 do
forhold:=evalf(fejl[j-1]/fejl[j]):
printf("%2d %-1.9f\n",j,forhold);
end do:Opgave 3Forst\345 ovenst\345ende udregninger, og diskuter resultaterne. Hvad sker der hvis vi i stedet lader NiNJImpHNiI= l\370be fra 1 og op til 7?Hvad er problemet, og hvordan kan det l\370ses?Opgave 4Gennemf\370r tilsvarende beregninger, hvor funktionen nu er givet vedgg:=x->2*x*sin(x^2);og vi igen integrerer over intervallet fra 1 til 4. Start med at beregne den eksakte v\346rdi, og gennemf\370r derefter tilsvarende udregninger. Pr\370v at forklare hvad der sker. Pr\370v at lade NiNJImpHNiI= l\370be op til 10. Juster eventuelt v\346rdien for NiNJJ0RpZ2l0c0c2Ig==.Opgave 5Lav nu en r\346kke tilsvarende numeriske eksperimenter for midtpunktsreglen og for trapez reglen. V\346lg selv en r\346kke funktioner og intervaller for eksperimenterne.Opgave 6Som det fremg\345r af ovenst\345ende eksperimenter, s\345 opst\345r der i nogle af udregningerne afrundings og trunkeringsproblemer. Diskuter disse n\346rmere, og repeter eventuelt tidligere dele af kurset i den forbindelse.