Prøve i matematik

Oeconuddannelsens 4. semester

Onsdag den 12. april 2000, kl. 9-13

Alle sædvanlige hjælpemidler må medtages.
Herunder lommeregnere, men ikke personlige computere.
Det er vigtigt, at tankegangen bag opgaveløsningerne fremgår af besvarelsen og at mellemregninger medtages i passende omfang.

Opgave 1:(10%) Funktionen f er givet ved

$$f(x)=2\cos(x)+\sin(x).$$

1.

Find anden-ordens Taylorpolynomiet for f omkring x=0.

Opgave 2:(12%) Betragt den homogene differentialligning

$$\ddot{x}-6 \dot{x}+8x=0.$$

1.

Find den generelle løsning til differentialligningen.

2.

Er ligningen stabil?

Opgave 3:(18%) Betragt den inhomogene differensligning

x_t+2-6x_t+1+8x_t=3.

1.

Find den generelle løsning til differensligningen.

2.

Find den løsning, der opfylder x₀=1 og x₁=3.

Opgave 4:(20%) Betragt det lineære ligningssystem

$$\left\{ \begin{array} {rrrrrcc} x_1&+&2x_2&+&x_3&=&1\\ x_1&+&3x_2&+&x_3&=&1\\ 2x_1&+&4x_2&+&2x_3&=&2\end{array}\right.$$

1.

Opskriv koefficientmatricen for ligningssystemet.

2.

Opskriv den sammensatte (på engelsk: the augmented) matrix for ligningssystemet.

3.

Ligningssystemet har en frihedsgrad. Find samtlige løsninger til ligningssystemet.

Opgave 5:(20%) Funktionen f er givet ved

f(x,y)=2xy+x²-2y²+x+10.

1.

Find $\frac{\partial f}{\partial x}$.

2.

Find $\frac{\partial f}{\partial y}$.

3.

Funktionen har præcist et stationært punkt. Find dette.

4.

Afgør om det stationære punkt, er et lokalt maksimum, et lokalt minimum eller et sadelpunkt.

Opgave 6:(20%) I denne opgave findes maksima og minima for funktionen

f(x,y)=x²+y²

under bibetingelsen (på engelsk: subject to)

x²+2y²=1.

1.

Opskriv den tilhørende Lagrange-funktion.

2.

Find vha. Lagrange-metoden de ovenfor omtalte maksima og minima
(bemærk: Lagrange-metoden skal benyttes).

Husk at skrive jeres fulde navn på hver side af besvarelsen. Nummerer siderne, og skriv antallet af afleverede ark på 1. side af besvarelsen.

God arbejdslyst.