Prøve i matematik

Oeconuddannelsens 4. semester

Mandag den 9. april 2001, kl. 9-13

Alle sædvanlige hjælpemidler må medtages.
Herunder lommeregnere, men ikke personlige computere.
Det er vigtigt, at tankegangen bag opgaveløsningerne fremgår af besvarelsen og at mellemregninger medtages i passende omfang.

Opgave 1:(7%) Lad $f(x)=\ln (x)$.

1.

Find anden-ordens Taylorpolynomiet for f omkring x=1.

Opgave 2:(16%) Betragt

$$A=\left[ \begin{array} {cc}1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{ar... ...} =\left[ \begin{array} {c} 3 \\ 6 \\ 3 \end{array} \right].$$

Lad (som ved forelæsningerne) A^T betegne den transponerede af A
(på engelsk: ``the transpose of A'').

1.

Find A^T og $\mbox{\boldmath$\space y$} ^T$.

2.

Beregn $\left( A^T A \right)^{-1}\!\!A^T\mbox{\boldmath$\space y$}$.

Opgave 3:(20%) Betragt differentialligningen $\ddot{x}+6 \dot{x}+9x=9t$.

1.

Find den generelle løsning til ligningen.

2.

Er ligningen stabil?

3.

Find den løsning, der opfylder $x(0)=\frac{1}{3}$ og $\dot{x}(0)=1$.

Opgave 4:(15%) Betragt det lineære ligningssystem

$$\left\{ \begin{array} {rrrrrcc} x_1&+&x_2&+&x_3&=&2\\ x_1&+&2x_2&+&2x_3&=&1\\ x_1&+&x_2&+&3x_3&=&4\end{array}\right.$$

1.

Løs ligningssystemet.

2.

Hvor mange frihedsgrader er der i løsningen til ligningssystemet?

Opgave 5:(15%) Funktionen f er givet ved

f(x,y)=x³+y-x²y+10.

1.

Find samtlige stationære punkter og afgør for hvert af dem, om der er tale om et lokalt maksimum, et lokalt minimum eller et sadelpunkt.

Opgave 6:(7%) Det oplyses, at

$$\left[ \begin{array} {r} 1 \\ -1 \end{array}\right]$$

er egenvektor for matricen

$$A=\left[ \begin{array} {cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right].$$

Hvad er den tilhørende egenværdi?

Opgave 7:(20%) Find maksimum og minimum for funktionen f(x,y)=x²-4x+y²-4y+8 under bibetingelsen x²+y²=8.

Husk at skrive jeres fulde navn på hver side af besvarelsen. Nummerer siderne, og skriv antallet af afleverede ark på 1. side af besvarelsen.

God arbejdslyst.