Omprøve i matematik

Oeconuddannelsens 4. semester

Mandag den 27. august 2001, kl. 9-13

Alle sædvanlige hjælpemidler må medtages.
Herunder lommeregnere, men ikke personlige computere.
Det er vigtigt, at tankegangen bag opgaveløsningerne fremgår af besvarelsen og at mellemregninger medtages i passende omfang.

Opgave 1:(10%) Lad z=F(x,y), hvor F(x,y)=x²+xy. Lad $x(t)=\cos(t)$ og lad y(t)=2t³.

1.

Find ${\displaystyle{\frac{dz}{dt}}}$.

Opgave 2:(20%) Betragt differensligningen x_t+2+6 x_t+1+9x_t=16t+8.

1.

Find den generelle løsning til ligningen.

2.

Er ligningen stabil?

3.

Find den løsning, der opfylder x₀=7 og x₁=7.

Opgave 3:(16%) Betragt

$$A=\left[ \begin{array} {cc}0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{ar... ...} =\left[ \begin{array} {c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right].$$

Lad (som ved forelæsningerne) A^T betegne den transponerede af A
(på engelsk: ``the transpose of A'').

1.

Beregn $\left( A^T A \right)^{-1}\!\!A^T\mbox{\boldmath$\space y$}$.

Opgave 4:(10%) I denne opgave regnes der i radianer. Lad $f(x)=\cos(\sin(x))$.

1.

Find elasticiteten af f med hensyn til x.

2.

Lad $x={\displaystyle{\frac{\pi}{2}}}$. Hvis x stiger med en procent, hvor mange procent stiger f så cirka?

Opgave 5:(20%) Find maksimum og minimum for funktionen f(x,y)=x³+x²+2 under bibetingelsen (x-1)²+(y-0)²=2.

Opgave 6:(20%) Lad

$$A=\left[ \begin{array} {ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$$

1.

Find egenværdierne for A.

2.

Find de tilhørende egenvektorer.

Opgave 7:(4%) Lad Y være en funktion af K givet ved Y=2000 K²².

1.

Er Y en konveks funktion? (argumenter for dit svar)

Husk at skrive jeres fulde navn på hver side af besvarelsen. Nummerer siderne, og skriv antallet af afleverede ark på 1. side af besvarelsen.

God arbejdslyst
venligst Olav