Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultetet

 

Calculus     Forår 2012

 
Hold 4

 


Miniprojekt 1:  Plane kurvers krumning,
                           rumkurvers krumning og torsion

Plane kurvers krumning

Materiale:  Kompendium i calculus side 19-20.

I planen defineres en naturlig omløbsretning svarende til drejningen fra x-aksen mod y-aksen i et sædvanligt xy-koordinatsystem. Dette medfører, at vi kan definere krumning af plane kurver med fortegn. En kurve, der drejer efter den naturlige omløbsretning, får tildelt positiv krumning og kaldes konveks. En kurve, der drejer modsat den naturlige omløbsretning, får tildelt negativ krumning og kaldes konkav.

I punkter på en differentiabel kurve betragter vi et medfølgende højre-koordinatsystem med basisvektorerne t og n, hvor t er enhedstangentvektoren (r' normeret) og n er enhedsnormalvektoren (n er tværvektor til t). Betragt figuren midt på side 19 i kompendiet. Bemærk, at t = cosφ i + sinφ j. Studér definitionen på krumning grundigt. Krumningen betegnes med κ (kappa).

I eksempel 1 indser vi, at med den viste gennemløbsretning af cirklen får krumningen værdien 1/a i alle punkter. Vælges modsat gennemløbsretning, får krumningen værdien -1/a.

Når vi har givet en kurve ved en parameterfremstilling, vil det være praktisk at finde et udtryk for krumningen baseret på denne. Øverst på side 20 i kompendiet bliver et sådant udtryk udledt. Prøv at forstå alle trin i udledningen.

Bemærk definitionen på krumningscirkel. Krumningscirklen i et kurvepunkt er den cirkel, som smyger sig tættest på kurven. I almindelighed vil kurven skære igennem krumningscirklen i punktet.

Studér alle detaljer i eksempel 2, som vedrører en cykloidebue. Udledning af selve parameterfremstillingen for cykloidebuen kan studeres i eksempel 8 i A&E side 471-472.

Bemærk nederst på side 20 i kompendiet det forenklede udtryk for krumningen, som fremkommer, når kurven er givet ved funktionsudtrykket y = f(x).

Diskuter materialet i gruppen. Regn dernæst nedenstående opgaver.

A&E afsnit 11.5:  1, 2*, 13, 17**

* Facit:   i.  κ = -1,  ρ = 1    ii.  κ = 0

** Se formler i kompendiet side 34 nederst.


Rumkurvers krumning og torsion

Materiale:  Kompendium i calculus side 21-22
                 A&E afsnit 11.5 side 649-650.

I rummet er det ikke muligt at definere en naturlig omløbsretning. Krumning af en rumkurve må derfor defineres som en positiv størrelse. Se definitionen øverst side 21 i kompendiet. Husk, at t = dr/ds er enhedstangentvektoren. Bemærk definitionen af hovednormalvektoren n, og at t og n er ortogonale.

Den plan, som udspændes af t og n, kaldes oskulationsplanen.

Bemærk endvidere definitionen af binormalvektoren b. Det ses, at t, n og b udgør et medfølgende højre-koordinatsystem.

Krumningen er et udtryk for den momentane tangentdrejning i oskulationsplanen. Et udtryk for den momentane vridning ud af af oskulationsplanen fås ved at indføre torsionen τ (tau). Studér definitionen nederst side 21 i kompendiet.

Med definitionen af t, n og b samt κ og τ kan vi opstille de såkaldte Frenet formler (i A&E kaldet Frenet-Serret formler).

Når vi har givet en rumkurve ved en parameterfremstilling, er det ønskeligt at kunne udtrykke t, n, b, κ og τ ved denne. På side 22 i kompendiet er der udledt udtryk for alle disse størrelser udtrykt ved parameterfremstillingen.

Gå eksemplet side 23 i kompendiet igennem. Ligeledes eksempel 1 på side 650 i A&E.

Diskuter materialet i gruppen. Regn derefter nedenstående opgaver.

A&E afsnit 11.5:  5, 9, 11

 
Opdateret den