MAT4 og Mat-Øk 4 -- Forår 2013

Analyse 2

Fredag den 22. februar 2013,  kl. 08:15
Sted: grupperum.

Dagens program

08:15-12:00

Opgaveregning: opgaver opgaver 6.3.1, 6.3.2, 6.3.3, 6.3.4, 6.4.1 fra afsnit 6.3 og 6.4 i Wade.

Hint til opgave 6.3.1.(d)

Man skal bruge sætning 6.23, og opgaven er reduceret til at beregne grænsen r=lim_k->\infty (1+1/k)^-k. Vi definerer funktionen $f(x)=-[ln(1+x)]/x$ for $x\neq 0$, og $f(0)=-1$. Vis, at f er kontinuert i $x=0$. Brug det til at vise, at r=lim_x->0+e^f(x)=e^f(0₊)=1/e <1.

Hint til opgave 6.3.3.(a)

Vis, at funktionen f(x)=1/(x ln^p(x)) er aftagende og har et endeligt integral på [2,\infty), når p>1.

Hint til opgave 6.3.3.(e)

Definer f(x)=(1+x²)^1/2-1 for alle |x|<1. Ved at bruge Taylorformlen med restled, vis at der findes en constant C>0 sådan at |f(x)-x²/2|< C |x|⁴ for alle |x|<1/2. Vis bagefter, at (1+k^2p)^1/2-k^p=k^p f(k^-p) for alle k>1 og p>0.

Vi har lim_k->\infty [(1+k^2p)^1/2-k^p] / k^-p=1/2. Brug nu sætning 6.16 (i).