Opgaver, 12. kursusgang.

1.  
2. S₄ består af
   
   • 6 permutationer på formen (a b c d). Ikke i A₄.
   • 8 permutationer på formen (a b c). Disse er i A₄.
   • 6 permutationer på formen (a b).  Ikke i A₄.
   • 3 permutationer på formen (a b)(c d). Disse er i A₄.
   • 1 permutation e=(1)(2)(3)(4). Denne er i A₄.
   A₄ har order 8+3+1 = 4! /2.
3. σ (a b)(c d) σ^-1 = σ (a b) σ^-1 σ (c d) σ^-1 = (σ(a) σ(b)) (σ(c)  σ(d))  ∈ H  (ifølge Lemma 2.9.8). H er altså normal.
   A₄ / H = {eH, (1 2 3)H, (1 3 2)H} ≅ {e, (1 2 3), (1 3 2)} ≅ ℤ/3ℤ. (Enhver gruppe af orden 3 er isomorf med denne, ifølge Proposition 2.7.2)
4. Mulige ordener i S₆ :  1, 2, 3, 4, 5 og 6.
   Mulige ordener i A₆ : 1, 2, 3, 4 og 5.
5. Den største orden af et element i A₁₀ :  lcm(7,3)=21.  (Den største orden af et element i S₁₀ :  lcm(5,3,2)=30.)
6.  
7.