Algebra 1
8. kursusgang, torsdag den 17. oktober
Selvstudium i grupperne 8.15-12.00
Dagens emne: primtal, faktorisering af heltal og Eulers φ-funktion, som er defineret ved:
Hvis n er et positivt helt tal så er φ(n) antallet af elementer i mængden { a∈
ℤ | gcd(a,n)=1 og 1≤ a<n}.
Mængden { a∈
ℤ | 0≤ a<n} betegnes af Lauritzen med
ℤ/n.
Læs følgende afsnit i Lauritzens bog
- 1.7 (undtagen beviset for Prop 1.7.1),
senere vil vi også se et andet bevis for Eulers sætning 1.7.2.
- 1.8
Opgaver
- Beregn φ(n) ved at bestemme mængden { a∈
ℤ | gcd(a,n)=1 og 1≤ a<n} for følgende værdier af n:
18, 25, 30, 36.
Kontrollér at resultatet er det samme som man får ved at anvende formlen i afsnit 1.8.3.
- Bestem φ(p) hvor p er et primtal.
- Specialtilfældet af Sætning 1.7.2 hvor n er et primtal er også kendt under et andet navn. Hvilket?
- Lad p og q være forskellige primtal. Vis at φ(pq)=φ(p)φ(q) ved bestemme mængden { a∈
ℤ | gcd(a,n)=1 og 1≤ a<n} hvor n=pq (eller eventuelt de tal a hvor gcd(a,n)>1).
- Opgaver i Lauritzen side 41-43: 23, 24, 28