Lineær algebra - 3

• Lidt mere om mindste kvadraters metode og anvendelser.
  
• Repetition (kort) af lineær approximation fra basisårets matematik-pensum.
• Udjævning i forbindelse med ikke-lineære ligninger.

• Cederholm, Kapitel 3.
• Lineær approximation er beskrevet i Edwards and Penney, Calculus (7th edition), afsnit 12.6.

Opgaveregning:

1. Vi har nu syv punkter A, B, C, D, E, F og G hvor der er målt følgende højdeforskelle:

   Fra punkt	Til punkt	Højdeforskel
   A	G	3.7
   B	G	0.5
   C	B	1.4
   C	D	1.2
   E	D	0.8
   E	F	-1.1
   F	G	3.9
   G	C	-2.3
   G	E	-2.2

   Punkter B, D og F er fikspunkter med højderne hhv. 7.5, 7.0, 5.0.
   (a)  Opstil observationsligningen for dette system.
   (b)  Find mindste kvadraters løsning til observationsligningen.
   
   
2. Lad funktion F være givet ved
   F(x₁,x₂) = x₁²+x₂².
   
   (a)  Find den lineære funktion (første ordens Taylor approximation) der approximerer F omkring punktet (x₁,x₂)=(2,2).
   (b)  Udregn F(x₁,x₂) og den lineære approximation i nogle punkter (x₁,x₂), som I selv vælger. Sammenlign.
   
   
3. Fire kendte fixpunkter har koordinaterne
   
   A = (0,0),  B = (10,0),  C = (0,10),  D = (10,10).
   
   Afstandene fra et ukendt punkt P til de fire punkter er målt til
   
   b_A = 8,  b_B = 8,  b_C = 6,  b_D = 6.
   

   (a)  Opstil (den lineariserede) observationsligning for systemet  (dvs. med formler i designmatricen, parametervektoren og observationsvektoren - ikke tal).
   
   
   (b)  Lad de foreløbige værdier for koordinaterne til punktet P være  (x⁰_P , y⁰_P) = (5 , 5)    (virker det rimeligt?).  Find (x¹_P , y¹_P) ved hjælp af mindste kvadraters metode.
   
   
   (c)  Brug (x¹_P , y¹_P)  som nye foreløbige værdier og find (x²_P , y²_P) .
   
   
   (d)  Fortsæt med at beregne så mange af (xⁱ_P , yⁱ_P), for i=3, 4, ..., som det synes nødvendigt. Ser det ud til at værdierne konvergerer.
   
   
   (e)  Er der en grund til at xⁱ_P 'erne ikke ændrer sig.
   
   
   (f)  Bestem afstandene fra (x³_P , y³_P) til hver af punkterne A, B, C, D.