Lineær algebra, L5.

5. lektion.


Forelæsning 8.30 - 10.15
Emne:

• Vægtet mindste kvadraters metode
• Den generelle fejlforplantningslov

Slides
Tavle skrift

Litteratur:

• Lay, afsnit 6.8, kun underafsnittet Weighted Least-Squares
• Cederholm, afsnit 4.2.

Opgaveregning 10.15 - 12.00
Opgaver:

1. Der er givet fire punkter i planen: (0,0), (1, 0.9), (2, 1.1), (3, 1.5).
   
   (a)  Find den bedste rette linie ved hjælp af ikke-vægtet mindste kvadraters metode.
   
   (b)  De fire punkter tildeles vægtene hhv. 10, 1, 1, 1. Find den vægtede bedste rette linie.
   
   (c)  Tegn begge linier ind i et koordinatsystem. Beskriv hvilken effekt vægtene har på linien.
   
   
   
   
2. Dette er en fortsættelse af en opgave fra lektion 3.
   Udover højdeforskelle har vi nu også fået oplyst afstandene mellem de fire punkter A, B, C og D:
   (Variansen af en måling af højdeforskel antages at være proportional med afstanden.)
   
   

   Fra punkt	Til punkt	Højdeforskel	Afstand
   A	B	5	4
   C	A	10	3
   C	B	14	5
   C	D	4	4
   D	A	2	5
   D	B	9	3

   (Bemærk at højdeforskelle ikke nødvendigvis er målt i samme enhed som afstande.)
   
   Vi ved at C er et fikspunkt med højden 1.
   
   (a)  Bestem vægt-matricen C. Hvilke målinger får mest vægt og hvilke får mindst vægt.
   
   (b)  Find den vægtede mindste kvadraters løsning til ligningssytemet.
   
   (c)  Udregn variansfaktoren σ₀².
   
   (d)  Bestem covariansmatricen.
   
   
   

Facit  (I 2(a) benytter facitlisten en anden numerering af målingerne end i ovenstående tabel. Desuden kaldes vægtmatricen W i facitlisten.)