Lineær algebra - 4

Fredag den 17. september, 8.15-10.00

• Repetition (kort) af lineær approximation fra basisårets matematik-pensum.
• Udjævning i forbindelse med ikke-lineære ligninger.

• Cederholm, Kapitel 3.
• Lineær approximation er beskrevet i Edwards and Penney, Calculus (7th edition), afsnit 12.6.

Opgaveregning 9.00-10.00

1. Lad funktion F være givet ved
   
   F(x₁,x₂) = x₁²+x₂².
   
   (a)  Find den lineære funktion (første ordens Taylor approximation) der approximerer F omkring punktet (x₁,x₂)=(2,2).
   (b)  Udregn F(x₁,x₂) og den lineære approximation i nogle punkter, som I selv vælger. Sammenlign.
   
   
2. Fire kendte fixpunkter har koordinaterne
   
   A = (0,0),  B = (10,0),  C = (0,10),  D = (10,10).
   
   Afstandene fra et ukendt punkt P til de fire punkter er målt til
   
   b_A = 8,  b_B = 8,  b_C = 6,  b_D = 6.
   

   (a)  Opstil (den lineariserede) observationsligning for systemet  (dvs. med formler i designmatricen, parametervektoren og observationsvektoren - ikke tal).
   
   
   (b)  Lad de foreløbige værdier for koordinaterne til punktet P være  (x⁰_P , x⁰_P) = (5 , 5)    (virker det rimeligt?).  Find (x¹_P , x¹_P) ved hjælp af mindste kvadraters metode.
   
   
   (c)  Brug (x¹_P , x¹_P)  som nye foreløbige værdier og find (x²_P , x²_P) .
   
   
   (d)  Fortsæt med at beregne så mange af (xⁱ_P , xⁱ_P), for i=3, 4, ..., som det synes nødvendigt. Ser det ud til at værdierne konvergerer.
   
   
   (e)  Er der en grund til at xⁱ_P 'erne ikke ændrer sig.
   
   
   (f)  Bestem afstandene fra (x³_P , x³_P) til hver af punkterne A, B, C, D.