MAT 3 1999

KURVERS OG FLADERS GEOMETRI

Introduktion




Formål og indhold:

I gamle dage sagde man, at matematikken bestod af tre grene: algebra, analyse og geometri. Geometrien er en af de ældste matematiske discipliner og nåede allerede i græsk tid en af sine højdepunkter med Euklids ``Elementer''. De næste store gennembrud skete først i det 19. århundrede, hvor man med held blandede analyse og geometri (differentialgeometri) samt algebra og geometri (algebraisk geometri). Geometrisk tankegang, metodik og terminologi gennemsyrer i dag store dele af matematikken og dens anvendelser. F.eks. kan væsentlige dele af vores fysiske verdensopfattelse (i det store og det små) formuleres i et geometrisk sprog. Udviklingen går stadigvæk stærkt - to af de sidste fire Fields-medailler som blev uddelt den 18.august 1998 gik til matematikere med en geometrisk baggrund.

Derfor er det jo kun naturligt, at man skal have en introduktion til geometri i løbet af en matematikuddannelse. Dette kursus fokuserer på differentialgeometrien og benytter teknikker fra Calculus (funktioner af en og flere variable) samt Lineær Algebra - i forbindelse med den geometriske intuition som hver enkelt er i besiddelse af og udvikler.

Kursets længde (3 moduler) og placering i studiet medfører begrænsninger: Vi holder os (stort set) inden for det Euklidiske rum, selvom mange anvendelser i fysik, statistik mv. kræver (krumme) rum af meget større dimensioner. I rummet behandles den klassiske teori vedr. kurver og flader - hvordan beskrives disse, hvordan defineres, forklares og beregnes forskellige invarianter ? Hvordan kan man f.eks. udtrykke hvor krum en given kurve eller flade er? De fleste resultater har været kendt allerede for mere end 100 år siden - men de kommer dog i en mere moderne version som effektivt udnytter jeres kendskab til Calculus og Lineær Algebra.

Litteratur:

Som lærebog benytter vi:

J. McCleary, Geometry from a Differentiable Viewpoint , Cambridge University Press, 1994

Bogen kan købes i boghandelen og koster 243 kroner.
``Professor McCleary considers the historical development of non-Euclidean geometry... The text serves as both an introduction to the classical differential geometry of curves and surfaces and as a history of a particular surface, the non-Euclidean or hyperbolic plane.....The focus of the book is on the models of non-Euclidean geometry and the modern ideas of abstract surfaces and manifolds.''

Bogen indeholder først og fremmest en præcis gennemgang af centrale emner i kurve- og fladeteorien. Derudover fortæller den, hvordan den Euklidiske geometri i løbet af det sidste århundrede fik konkurrence. Det førte først til en krise - hvilken slags geometri var den rigtige? - men derefter til en syntese: et begrebsapparat, der generaliserer både den Euklidiske og den ikke-Euklidiske geometri. I løbet af de første 2 moduler gennemgår vi de centrale klassiske emner i kapitel 6 - 10. I det sidste modul udvider vi teorien og stiller den i historisk sammenhæng (dele af Part A og C, samt kap. 11-13).

Der er mange andre gode geometribøger . Lad mig i det mindste nævne følgende:

Desuden nogle anbefalinger til web nørderne:

Arbejdsform:

Dette kursus kræver en høj grad af selvstændig aktivitet fra deltagerne. Under forelæsningerne vil jeg tage udgangspunkt i, at I har kigget på stoffet på forhånd; i det mindste så meget, at I har set hovedbegreberne og -resultaterne i forvejen - og ved hvad det kommer til at handle om. Så kan I meget bedre koncentrere jer om det væsentlige i fremstillingen og have spørgsmål parat. Det er også vigtigt at I skaffer jer en aktiv tilgang til stoffet, og arbejde med eksempler og opgaver er en god metode til det.

Jeg foreslår også, at vi med jævne mellemrum bruger øvelsestid på formuleringsøvelser (gennemgang af begreber og beviser). Måske kan jeg også få jer til at overtage en bid af forelæsningen en gang imellem? Jeg synes, det er et godt tilbud om ``aktivering'' - og eksamensforberedelse!

Computerillustrationer:

Det må være rart at kunne se så meget geometri som muligt. Efterhånden kan det også lade sig gøre selvom læreren ikke er specielt god til at tegne selv - med grafikprogrammer på computer. Jeg vil selv med jævne mellemrum fremvise computertegninger og mindre programmer i forelæsningerne. (Vi er faktisk nogle stykker, der prøver at fremstille og samle den salgs illustrationer under VIDIGEO-projektet).

I tilbydes at bruge computeralgebra programmet MAPLE - til illustration og beregninger. Man behøver ikke at kunne ret meget MAPLE for at få udbytte; hvis I er interesserede i det, kan jeg godt afsætte noget tid til vejledning og afprøvning. Brug af MAPLE er dog ingen betingelse - alle kan komme langt med at bruge papir, blyant - og hovedet!

Hvornår?

Undervisningen foregår mandag og onsdag formiddag. Jeg forsøger at få lokaler til rådighed hele formiddagen. Hvis det lykkes, kan vi efterhånden bruge modellen fra MAT1/2: repetition - opgaver - nyt stof.

Evaluering:

Som SE-kursus evalueres kurset ved en mundtlig prøve med intern censor (bestået/ikke bestået), som ligner dem I har prøvet tidligere. Den finder sted i løbet af januar 2000. Jeg udarbejder pensumliste (en ægte delmængde af stoffet fra de ovennævnte kapitler fra lærebogen) i løbet af semestret.

Første gang:

Mandag, den 6.9.99. Vi begynder kl. 8:15 i lokale A4-108. I bedes at have lærebogen parat. Se iøvrigt den første spiseseddel.



Martin Raussen < raussen@math.auc.dk>



URL: http://www.math.auc.dk/~raussen/CA/99/intro/intro.html

[ alle spisesedler]
Last modified: Mon Aug 30 11:56:33 1999