Dato:

Onsdag, den 6.9.99.

Repetition og forelæsning:

kl. 8:15 - 9:25 i lokale A4-108

kl. 11:25 - 12:00 i lokale A5-006

Mål og indhold:

Vi starter med et kort résumé af sidste lektion: glat parameterfremstilling for en kurve, tangentvektor, fart og buelængde. En og den samme kurve har mange parameterfremstillinger; to parameterfremstillinger definerer samme kurve, hvis den ene er en reparametrisering af den anden. I geometrien interesserer man sig for egenskaber, som ikke afhænger af den valgte parameterfremstilling, f. eks. kurvens længde .

Parametrisering ved buelængde (eller den naturlige parameterfremstilling ) er et vigtigt teoretisk redskab. Man forestiller sig at vandre langs med kurven med jævn fart. Man kan kun i få eksempler beskrive denne parameterfremstilling vha. eksplicitte formler, men det er nemmest at ræsonnere ved hjælp af denne.

Enheds tangentvektorerne langs med en kurve definerer et vektorfelt, hvis afledede (variation) giver information om kurvens krumning og hovednormal. En stor (lille) variation af tangentr etninger svarer til stor (lille) krumning. Ved at tage udgangspunkt i den naturlige parameterfremstilling sorterer man variationer i farten fra og koncentrerer sig udelukkende om retningsændringer. En anvendelse af eksistens-og entydighedssaetningen for lineære differentialligningssystemer viser, at krumningsfunktionen $\kappa (s)$ karakteriserer en kurve (næsten) fuldstændigt.

For rumkurver definerer enhedstangentvektor, hovednormalvektor og binormalvektor i hvert punkt på kurven Frenets treben. Det drejer og vender rundt med kurven; og ved hjælp af deres afledede defineres kurvens krumning og torsion .

Vigtige definitioner:

Krumning med fortegn for plane kurver (p. 71); hovednormalvektor, binormalvektor (p. 80), torsion (p. 82).

Litteratur:

Mc Cleary, ch. 6, pp. 68 - 69, 70 -72; ch. 7, pp. 80 -82.

Opgaveregning:

Vi starter med at tænde for maskinen i grupperummet ca. kl.9:30 og ser på elementære MAPLE-rutiner, som tillader at tegne kurver og at differentiere vektorfunktioner. Se kommandoer på 1. lektionsseddel. En vektorfunktion indtastes f.eks. ved hel:=[a*cos(t),a*sin(t),b*t]; og differentieres ved diff(hel,t);. Yderlig hjælp og inspiration kan fås på MAPLEs ``New User's Tour'', som man finder under Help-knappen på Unix-versionen. Desuden kan vi se på illustrationer på forskellige webadresser (se introduktionen).

Herefter er der traditionel opgaveregning i grupperummet.

Opgaveforslag:

1.

Exc. 6.8. Se tegning på p. 73; en nyttig trigonometrisk formel:

$$1+\cos t=2(\cos \frac{t}{2})^2.$$

2.

Esc. 6.5 - giver en konkret udgave af Fundamentalsætningen for plane kurver (Thm. 6.10).

3.

Exc. 6.6 Anvend krumningfsormlen på den logaritmiske spiral

$$\alpha (t)=(e^t\cos t, e^t\sin t).$$

Næste gang:

3. lektion. 13.9.98. McCleary, ch. 7, pp. 83 - 88. Beregning af invarianter (krumning og torsion) for generelle parameterfremstillinger. Krumning og torsion karakteriserer rumkurver. Eks.: Generaliserede skruelinier.