Spørgsmål, repetition og perspektivering: kl.8:15-8:45 i lokale B3-101. Geodætiske kurver: definition, differentialligningssystem, invariant under isometrier.

Opgaveregning: kl.8:45-10:45 i grupperummene.

Opgaveforslag:

1. Opvarmning: Exc.5.1.1
2. Exc. 5.1.4 (Hvad er sammenhængen mellem hovednormal N og fladenormal U for en geodaetisk kurve?)
3. I lærebogen er der på side 155 er der et argument for, at geodætiske kurver er lokalt afstandsminimerende. Læs det igennem med de kritiske briller på og forsøg at finde "kritisable" punkter. Sammenlign evt. med do Carmos bog (pp. 286/7 og 292/3). Prøv herefter Exc. 5.1.8.
4. Exc. 3.5.5
5. Repetitionsopgaver: Exc. 1.4.5 og Exc. 3.3.2

Forelæsning: kl. 10:45-12:00 i lokale B3-101.

Mål og indhold: Gennem hvert punkt på fladen og i hver tangentretning er der netop én geodætisk kurve; men hvordan ser den ud? Generelt er det svært at svare på spørgsmålet med mindre man kan løse det geodætiske differentialligningssystem. Men for omdrejningsflader (sfære, torus mv.) giver Clairault-relationen - som udtaler sig om vinklen mellem en geodætisk kurve og parameterkurverne - en betingelse om, hvor langt man kan nå på fladen med en geodætisk kurve. Mere generelt har man denne relation, hvis størrelserne i den 1.fundamentalform kun afhænger af én variabel. D'Alemberts princip giver en fysisk forklaring for fænomenet.

Man kan ikke altid fortsætte langs med en geodætisk kurve for evigt. Det kan man allerede se i den udprikkede plan (jvf. Kaspers CD-plade). Men på lukkede flader kan det altid lade sig gøre: de er geodætisk fuldstændige. Hopf-Rinow sætningen - som vi ikke beviser i kurset - siger, at der altid findes en geodætisk kurve mellem to punkter på en sådan geodætisk fuldstændig flade.

Litteratur: Oprea, ch. 5.2-5.3, pp. 159-167.

Vigtige definitioner: Clairault kort (p.160), Clairault relation (p.163, Exc. 5.2.6), geodætisk fuldstændig flade (p.166)

Næste gang: 12. lektion. Fredag, den 7.11.97. Oprea, ch. 5.4, pp.167-177. Abstrakte flader.

[ Hjemmeside for MAT3] Andre lektionssedler